Holomorphically symplectic varieties with Prym Lagrangian fibrations

par Tommaso Matteini

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Dimitri Markouchevitch et de Ugo Bruzzo.

Soutenue le 24-09-2014

à Lille 1 en cotutelle avec l'International School for Advanced Studies , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire Paul Painlevé (laboratoire) .

  • Titre traduit

    Variétés holomorphiquement symplectiques avec des fibrations lagrangiennes de Prym


  • Résumé

    La thèse présente une construction de variétés holomorphiquement symplectiques singulières comme fibrations lagrangiennes. Celles-ci sont des variétés de Prym compactifiées relatives associées aux courbes sur des surfaces symplectiques avec une involution antisymplectique. Elles sont identifiées au lieu fixe d'une involution symplectique sur des espaces de modules de faisceaux de dimension 1. Un exemple explicite d'une variété symplectique irréductible de dimension 6 singulière et sans résolution symplectique est décrit pour une surface K3 qui est un revêtement double d'une surface cubique. Pour surfaces abéliennes, une variation de la construction est étudiée pour obtenir des variétés symplectiques irréductibles: variétés 0-Prym compactifiées relatives. Un résultat partiel est obtenu pour involutions sans points fixes: soit la variété 0-Prym est birationnelle à une variété symplectique irréductible de K3[n]-type, soit elle n'admet pas de résolutions symplectiques.


  • Résumé

    The thesis presents a construction of singular holomorphically symplectic varieties as Lagrangian fibrations. They are relative compactified Prym varieties associated to curves on symplectic surfaces with an antisymplectic involution. They are identified with the fixed locus of a symplectic involution on singular moduli spaces of sheaves of dimension 1. An explicit example, giving a singular irreducible symplectic 6-fold without symplectic resolutions, is described for a K3 surface which is the double cover of a cubic surface. In the case of abelian surfaces, a variation of this construction is studied to get irreducible symplectic varieties: relative compactified 0-Prym varieties. A partial classification result is obtained for involutions without fixed points: either the 0-Prym variety is birational to an irreducible symplectic variety of K3[n]-type, or it does not admit symplectic resolutions.


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