Éléments finis isogéométriques massifs coque sans verrouillage pour des simulations en mécanique non linéaire des solides

par Robin Bouclier

Thèse de doctorat en Mécanique

Sous la direction de Alain Combescure.

Soutenue le 30-09-2014

à Lyon, INSA , dans le cadre de Ecole Doctorale Mecanique, Energetique, Genie Civil, Acoustique (MEGA) (Villeurbanne) , en partenariat avec LaMCoS - Laboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures, UMR 5259 (Lyon, INSA) (laboratoire) et de Laboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures / LaMCoS (laboratoire) .

Le président du jury était Jean-Louis Batoz.

Le jury était composé de Alain Combescure, Jean-Louis Batoz, Farid Abed-Meraim, René De Borst, Manfred Bischoff, Bruno Cochelin, Thomas Elguedj, Antoine Legay.

Les rapporteurs étaient Farid Abed-Meraim, René De Borst.


  • Résumé

    Avec l’arrivée de l’Analyse IsoGéométrique (IGA), le calcul de coque est devenu possible en utilisant la géométrie exacte pour des maillages grossiers. Pour cela, les polynômes de Lagrange sont remplacés pour l’interpolation par des fonctions NURBS (technologie la plus courante en conception assistée par ordinateur). De plus, ces fonctions possèdent une continuité supérieure ce qui offre une meilleure précision qu’un calcul éléments finis à nombre de degrés de liberté égal. L’IGA a déjà été développée pour les formulations coques. Elle n’a été cependant que très peu étudiée pour les modèles massifs coque. Pourtant, cette deuxième approche est très utilisée par l’ingénieur car elle permet de calculer des structures minces à l’aide d’éléments continus 3D, c’est-à-dire en faisant intervenir uniquement des inconnues en déplacements. La difficulté en calcul de coque est de faire face au verrouillage qui conduit à une forte dégradation de la convergence de la solution. Le cadre NURBS ne permet pas lui-même de résoudre ce problème. La meilleure efficacité de l’approximation NURBS ne peut donc être atteinte sans le développement de techniques particulières pour supprimer le verrouillage. C’est le but de cette thèse dans le cadre des éléments massifs coque. Le premier travail a consisté, sur un problème de poutre courbe, à étendre les méthodes sans verrouillage habituelles au contexte NURBS. Deux nouvelles stratégies ont alors été développées pour les NURBS : la première est basée sur une technique d’intégration réduite tandis que la seconde fait appel à une projection B-bar. Le formalisme général des méthodes B-bar semblant plus adapté, c’est celui-ci que nous avons développé ensuite pour les éléments massifs coque. Plus précisément, nous avons mis en place une formulation mixte de laquelle nous avons pu dériver la projection B-bar équivalente. Cette démarche constitue d’un point de vue théorique le résultat principal du travail : une méthode systématique pour construire une projection B-bar consistante est de passer par une formulation mixte. D’un point de vue mise en œuvre, l’idée principale pour traiter le verrouillage des éléments massifs coque a été de modifier l’interpolation de la moyenne dans l’épaisseur de la coque des composantes du tenseur des contraintes. Un contrôle de hourglass a aussi été ajouté pour stabiliser l’élément dans certaines situations. L’élément obtenu est de bonne qualité pour une interpolation de bas degrés et des maillages grossiers : la version quadratique semble plus précise que des éléments standards NURBS de degré 4. La méthode proposée conduit à une matrice de rigidité globale de petite taille mais pleine. Ce problème est inhérent aux NURBS. Il a pu être limité ici en utilisant une procédure de type moindres carrés locaux pour approcher la projection B-bar. Finalement, l’élément mixte a été étendu avec succès en non linéaire géométrique ce qui témoigne du potentiel de la méthode pour mener des simulations complexes.

  • Titre traduit

    Isogeometric locking-free NURBS-based solid-shell elements for nonlinear solid mechanics


  • Résumé

    With the introduction of IsoGeometric Analysis (IGA), the calculation of shell has become possible using the exact geometry for coarse meshes. In order to that, Lagrange polynomials are replaced by NURBS functions, the most commonly used technology in Computer-Aided Design, to perform the analysis. In addition, NURBS functions have a higher order of continuity, which leads to higher per-degree-of-freedom accuracy of the shell solution than with classical Finite Elements Analysis (FEA). IGA has now been widely applied in shell formulations. Nevertheless, it has still rarely been studied in the context of solid-shell models. This second shell approach is, however, very useful for engineers, since it enables to calculate thin structures using 3D solid elements, i.e. involving only displacements as degrees of freedom. The difficulty in shell analysis is to deal with locking which highly deteriorates the convergence of the solution. The NURBS framework does not enable to solve the problem directly. Then, to really benefit from NURBS in shells, specific strategies need to be implemented to answer the locking issue. This is the goal of the thesis in the context of solid-shell elements. The first work has consisted, on a curved beam problem, in extending the locking-free methods usually encountered in FEA to the NURBS context. The study resulted in the development of two new strategies for NURBS: the first one is based on a selective reduced integration technique and the second one makes use of a B-bar projection. The global formalism offered by the B-bar method appearing more suitable for NURBS, it has then been investigated for solid-shell elements. More precisely, a mixed formulation has first been elaborated from which, it has been possible to derive the equivalent B-bar projection. From a theoretical point of view, this strategy constitutes the most important result of this work: a systematic method to construct a consistent B-bar projection is to write a mixed formulation. With regards to the implementation, the main idea to treat locking of the solid-shell elements has been to modify the average of the strain and stress components across the thickness of the shell. Hourglass control has also been added to stabilize the element in particular situations. The resulting element is of good quality for low order approximations and coarse meshes: the quadratic version seems to be more accurate than basic NURBS elements of order 4. The proposed method leads to a global stiffness matrix of small size but full. This problem is inherent to NURBS functions. It has been limited here by using a local least squares procedure to approach the B-bar projection. Finally, the mixed element has been successfully extended to geometric non-linearity which reflects the ability of the methodology to be used in complex simulations.


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