Limites diffusives pour des équations cinétiques stochastiques

Diffusive limits for stochastic kinetic equations

• Auteur / Autrice : Sylvain De Moor
• Direction : Arnaud Debussche, Julien Vovelle
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/06/2014
• Etablissement(s) : Rennes, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes ; 2022-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Université européenne de Bretagne - European University of Brittany - École normale supérieure - Rennes - Institut de Recherche Mathématique de Rennes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Erwan Faou, Josselin Garnier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Thierry Goudon, Mauro Mariani

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles stochastiques

Fokker-Planck, Équation de

Mots clés libres

Équation aux dérivées partielles stochastiques

Approximation Diffusion

Régularité d'équations aux dérivées partielles quasi linéaires de type parabolique

Équation de Fokker-Planck

Stochastic partial differential equations

Approximation diffusion

Regularity of quasi linear stochastic partial diferential equations of parabolic type

Fokker-Planck equation

Résumé

Cette thèse présente quelques résultats dans le domaine des équations aux dérivées partielles stochastiques. Une majeure partie d'entre eux concerne l'étude de limites diffusives de modèles cinétiques perturbés par un terme aléatoire. On présente également un résultat de régularité pour une classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques ainsi qu'un résultat d'existence et d'unicité de mesures invariantes pour une équation de Fokker-Planck stochastique. Dans un premier temps, on présente trois travaux d'approximation-diffusion dans le contexte stochastique. Le premier s'intéresse au cas d'une équation cinétique avec opérateur de relaxation linéaire dont l'équilibre des vitesses a un comportement de type puissance à l'infini. L'équation est perturbée par un processus Markovien. Cela donne lieu à une limite fluide stochastique fractionnaire. Les deux autres résultats concernent l'étude de l'équation de transfert radiatif qui est un problème cinétique non linéaire. L'équation est bruitée dans un premier temps avec un processus de Wiener cylindrique et dans un second temps par un processus Markovien. Dans les deux cas, on obtient à la limite une équation de Rosseland stochastique. Dans la suite, on présente un résultat de régularité pour les équations aux dérivées partielles quasi-linéaires de type parabolique dont la partie aléatoire est gouvernée par un processus de Wiener cylindrique. Enfin, on étudie une équation de Fokker-Planck qui présente un terme de forçage aléatoire régi par un processus de Wiener cylindrique. On prouve d'une part l'existence et l'unicité des solutions de ce problème et d'autre part l'existence et l'unicité de mesures invariantes pour la dynamique de cette équation.

This thesis presents several results about stochastic partial differential equations. The main subject is the study of diffusive limits of kinetic models perturbed with a random term. We also present a result about the regularity of a class of stochastic partial differential equations and a result of existence and uniqueness of invariant measures for a stochastic Fokker-Planck equation.First, we give three results of approximation-diffusion in a stochastic context. The first one deals with the case of a kinetic equation with a linear operator of relaxation whose velocity equilibrium has a power tail distribution at ininity. The equation is perturbed with a Markovian process. This gives rise to a stochastic fluid fractional limit. The two remaining results consider the case of the radiative transfer equation which is a non-linear kinetic equation. The equation is perturbed successively with a cylindrical Wiener process and with a Markovian process. In both cases, we are led to a stochastic Rosseland fluid limit.Then, we introduce a result of regularity for a class of quasilinear stochastic partial differential equations of parabolic type whose random term is driven by a cylindrical Wiener process.Finally, we study a Fokker-Planck equation with a noisy force governed by a cylindrical Wiener process. We prove existence and uniqueness of solutions to the problem and then existence and uniqueness of invariant measures to the equation.