Planarité et Localité en Percolation

par Vincent Tassion

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Vincent Beffara.


  • Résumé

    Cette thèse s'inscrit dans l'étude mathématique de la percolation, qui regroupe une famille de modèles présentant une transition de phase. Des avancées majeures au cours des quinze dernières années, notamment l'invention du SLE et la preuve de l'invariance conforme de la percolation de Bernoulli critique, nous permettent aujourd'hui d'avoir une image très complète de la percolation de Bernoulli sur le réseau triangulaire. Cependant, de nombreuses questions demeurent ouvertes, et ont motivé notre travail.La première d'entre elle est l'universalité de la percolation plane, qui affirme que les propriétés macroscopiques de la percolation plane critique ne devraient pas dépendre du réseau sous-jacent à sa définition. Nous montrons, dans le cadre de la percolation Divide and Color, un résultat qui va dans le sens de cette universalité et identifions, dans ce contexte, des phénomènes macroscopiques indépendants du réseau microscopique. Une version plus faible d'universalité est donnée par la théorie de Russo-Seymour-Welsh (RSW), et sa validité est connue pour la percolation de Bernoulli (sans dépendance) sur les réseaux plans suffisamment symétriques. Nous étudions de nouveaux arguments de type RSW pour des modèles de percolation avec dépendance. La deuxième question que nous avons abordée est celle de l'absence d'une composante connexe ouverte infinie au point critique, une question importante du point de vue physique, puisqu'elle traduit la continuité de la transition de phase. Dans deux travaux en collaboration avec Hugo Duminil-Copin et Vladas Sidoravicius, nous montrons que la transition de phase est continue pour la percolation de Bernoulli sur le graphe Z^2x{0,...,k}, et pour la percolation FK sur le réseau carré avec paramètre q inférieur ou égal à 4. Enfin, la dernière question qui nous a guidés est la localité du point critique : la donnée des boules de grands rayons d'un graphe suffit-elle à identifier avec une bonne précision la valeur du point critique? Dans un travail en collaboration avec Sébastien Martineau, nous répondons de manière affirmative à cette question dans le cadre des graphes de Cayley de groupes abéliens.

  • Titre traduit

    Planarity and locality in percolation theory


  • Résumé

    This thesis is part of the mathematical study of percolation theory, which includes a family of models with a phase transition. Major advances in the 2000s, including the invention of SLE and the proof of conformal invariance of critical Bernoulli percolation, provide us with a very complete picture of the Bernoulli percolation process on the triangular lattice. Fortunately, many questions remain open, and motivated our work.The first of these is the universality of planar percolation, which states that the macroscopic properties of critical planar percolation should not depend on the underlying graph. We study this question in the framework of Divide and Color percolation, and prove in this context a result that goes in the direction of universality. A weaker universality statement is given by the theory of Russo-Seymour-Welsh (RSW), which is known to hold for planar Bernoulli percolation (without dependence) on sufficiently symmetric graphs. We study new RSW-type arguments for percolation models with dependence.The second question is the absence of an infinite cluster at the critical point, an important question from a physical point of view, equivalent to the continuity of the phase transition. In two different joint works with Hugo Duminil-Copin and Vladas Sidoravicius, we show that the phase transition is continuous for Bernoulli percolation on the graph Z^2 x {0,...,k} and for FK percolation on the square lattice with parameter q smaller than or equal to 4.Finally, the last question that guided us is the locality of the critical point: is it possible to determine with good accuracy the critical value for Bernoulli percolation on a graph if we know only the balls with large radii? Jointly with Sébastien Martineau, we answer positively to this question in the framework of Cayley graphs of abelian groups.


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