Modélisation et analyse mathématique de gaz polyatomiques et de mélanges dans le contexte de la théorie cinétique des gaz et de la mécanique des fluides

Mathematical modelling and analysis of polyatomic gases and mixtures in the context of kinetic theory of gases and fluid mechanics

• Auteur / Autrice : Milana Pavić
• Direction : Laurent Desvillettes, Srboljub Simić
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 25/09/2014
• Etablissement(s) : Cachan, Ecole normale supérieure en cotutelle avec Univerzitet u Novom Sadu
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pratiques (1998-2015 ; Cachan, Val-de-Marne)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques et de leurs applications (1990-2019 ; Cachan, Val-de-Marne)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bérénice Grec, Marko Nedeljkov, Tomaso Ruggeri, Francesco Salvarani
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Klemens Fellner, Maria Groppi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Gaz, Théorie cinétique des

Mécanique des fluides

Molécules polyatomiques

Mots clés libres

Théorie cinétique des gaz polyatomiques

Mélanges de gaz monoatomique

Mélanges de gaz polyatomique

Mécanique des fluides

Kinetic theory of polyatomic gas

Mixtures of monatomic gases

Mixtures of polyatomic gases

Fluid mechanics

Résumé

En ce qui concerne les gaz polyatomiques, nous proposons deux hiérarchies distinctes formées d'équations de moments, qui permettent d'obtenir des lois de conservation de la densité de masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie totale du gaz. Ces hiérarchies sont généralement coupées à un certain ordre. Une méthode qui fournit une solution appropriée au problème de fermeture est la méthode de la maximisation d'entropie. Nous formulons un problème variationnel et nous explorons en détail le cas physique de 14 moments. On étudie un mélange de gaz polyatomiques dans lequel la fonction de distribution de chaque espèce converge vers une Maxwellienne, chacune avec sa propre vitesse moyenne et température. Les lois pour la densité de masse, de quantité de mouvement et d'énergie peuvent être obtenues. En particulier, les coefficients phénoménologiques de la thermodynamique étendue peuvent être déterminés à partir des termes sources. On présente pour les mélanges de gaz monoatomiques l'asymptotique diffusive des équations de Boltzmann. Le développement de Hilbert de chaque fonction de distribution donne deux équations. La première équation permet d'affirmer que le mélange est proche de l'équilibre. La deuxième équation est une équation fonctionnelle linéaire en la variable de vitesse. Nous prouvons l'existence d'une solution de cette équation. D'une part, lorsque les masses moléculaires sont égales, les techniques introduites par Grad peuvent être utilisés. D'autre part, nous proposons une nouvelle approche qui est valable lorsque les masses moléculaires sont différentes.

Considering polyatomic gases, we first propose two independent hierarchies of the moment equations, which allow to obtain conservation laws for mass density, momentum and total energy of a gas. Such hierarchies are usually truncated at some order. A method which provides an appropriate solution to the closure problem is the maximization of entropy method. We formulate a variational problem and explore in detail the physical case of 14 moments. We study mixtures of polyatomic gases in which the distribution function of each species converges towards a Maxwellian distribution function, each with its own bulk velocity and temperature. Balance laws for mass density, momentum and energy can be obtained. In particular, the phenomenological coefficients of extended thermodynamics can be determined from the source terms. Regarding mixtures of monatomic gases, we discuss the diffusion asymptotics of the Boltzmann equations. The Hilbert expansion yields two equations. The first equation allows to state that the mixture is close to equilibrium. The second equation is a linear functional equation in the velocity variable. We prove the existence of a solution to this equation. On the one hand, when molecular masses are equal, the techniques introduced by Grad can be used. On the other hand, we propose a new approach, which only holds when molecular masses are different.