Equations de contraintes en théorie de champ scalaire.

par Bruno Premoselli

Thèse de doctorat en Mathématiques - EM2C

Sous la direction de Emmanuel Hebey et de Olivier Druet.

Le président du jury était Piotr T. Chruściel.

Le jury était composé de Vladimir Georgescu, Frédéric Hélein.

Les rapporteurs étaient Jérémie Szeftel, Petru Mironescu.


  • Résumé

    On étudie dans cette thèse le système d'Einstein-Lichnerowicz, aussi appelé système des contraintes conformes. C'est un système d'équations aux dérivées partielles nonlinéaires elliptiques, obtenu après application de la méthode conforme, qui intervient en théorie de la Relativité Générale, plus précisément dans l'analyse des équations d'Einstein comme un problème d'évolution.Le résultat principal de notre thèse, démontré en toutes dimensions supérieures ou égales à 3, est un résultat de stabilité du système des contraintes conformes. Il exprime la dépendance continue de l'ensemble des solutions du système des contraintes conformes en les grandeurs physiques de la méthode conforme. En ce sens, c'est un résultat de structure sur l'ensemble des solutions du système d'Einstein-Lichnerowicz.Ce résultat exprime aussi la pertinence physique d'une construction physique naturelle qui intervient dans le cadre de la méthode conforme, que nous appelons dans le manuscrit construction de Choquet-Bruhat-Geroch-Lichnerowicz et que nous décrivons en détail.Nous obtenons aussi dans cette thèse des résultats d'existence pour le système d'Einstein-Lichnerowicz. Un premier résultat d'existence est obtenu par des méthodes non-variationnelles. Un résultat indépendant de multiplicité est obternu comme conséquence du résultat de stabilité énoncé plus haut.

  • Titre traduit

    The Constraint Equations in a scalar-field theory.


  • Résumé

    We investigate in this work the Einstein-Lichnerowicz constraints system, also called conformal constraints system. It is an elliptic system of nonlinear partial differential equations obtained through the conformal method, and arising in Mathematical General Relativity in the analysis of the Einstein equations as an evolution problem.Our main result, proven in any dimension greater than 3, is a stability result for the conformal constraints system. It asserts the continuous dependence of the set of solutions of the conformal constraints system in the physical parameters of the conformal method. It is then a structure result on the set of solutions of the Einstein-Lichnerowicz constraints system.Our result can be rephrased in terms of the physical relevance of a physical construction naturally arising in the context of the conformal method, that we call Choquet-Bruhat-Geroch-Lichnerowicz formalism and that we describe in detail.We also obtain in this work existence results for the Einstein-Lichnerowicz constraints system. A first existence result is obtained via non-variational methods. An independent multiplicity result is obtained as a consequence of the aforementioned stability result.

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