Complex tropical currents

par Farhad Babaee Ghasemabadi

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Alain Yger et de Andrea D'Agnolo.

Soutenue le 11-07-2014

à Bordeaux en cotutelle avec l'Università degli studi (Padoue, Italie) , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde) , en partenariat avec Université de Bordeaux I (1970-2013) (Etablissement d'accueil) , Institut de Mathématiques de Bordeaux et de Institut de Mathématiques de Bordeaux (laboratoire) .

Le président du jury était Ahmed Zeriahi.

Le jury était composé de Mickaël Matusinski, Pietro Polesello.

Les rapporteurs étaient Alexander Rashkovskii, Romain Dujardin.

  • Titre traduit

    Courants tropicaux complexes


  • Résumé

    Tout p-cycle tropical VT de Rn, on attache naturellement un courant fermé (p, p) dimensionnel d'ordre 0 sur (C)n, noté Tp n(VT). Un tel "courant tropical" T p n(VT) ne saurait etre le courant d'intégration sur un quelconque sous-ensemble analytique de (C)n du fait qu'il a pour support l'ensemble log-1(VT) (C)n, où l'application Log désigne la multivluation (Z1, ..., Zn) 7! (logIZ1I, ..., logIZnI). On donne des conditions suffisantes (de nature locale) sur un p-cycle tropical VT pour le courant tropical T p n(VT) qui lui est associé soit" fortement extrémal" dans D0p, p((C)n). En particulier, si une telle condition s'avère remplie pour un p-cycle tropical effectif, alors le courant tropical qui lui est attaché est extrémal dans le cône des courants fermés de bidimension (p, p) sur (C)n. On explique ensuite comment prolonger ces courants tropicaux et les propirétés d'extrémilité dont ils héritent à l'espace projectif CPn. On montre également comment définir le produit de tels courants tropicaux pour en déduire une théorie de l'intersection entre cycles tropicaux. pour opérer ces calculs, on établit une formule pour la mesure de Monge Ampère réelle associée à un polynôme tropical. De plus, comme un tel courant tropical attaché à un p-cycle tropical VT s'obtient en moyennisant des courants d'intégration sur des variétés toriques, on met en correspondance théorie de l'intersection dans le cadre torique et théorie de l'intersection dans le cadre tropical. On explicite enfin certains liens entre les problèmes relevant de l'approximation (an sens ensembliste, pour la métrique de Hausdorff) des cycles tropicaus de Rn par les amibes de cycles algébriques de (C)n et l'approximation (ans sens faible) des courants tropicaux associées par des multiples positifs de courants d'intégration sur de tels cycles algébriques. on explique en quoi ces questions d'approximation se trouvent reliées à une formulation forte de la célèbre confecture de Hodge.


  • Résumé

    To a tropical p-cycle VT in Rn, we naturally assoicate a closed (p, p)-dimensional current of order zero on (C)n denoted bu T p n(VT). Such e "tropical current" T p n(VT) cannot be an integration current along any analytic set since its support has the form log -1(VT) (C)n, where log is the coordinate-wise valuation with log(I.I). We provide sufficient (local) conditions on a tropical p-cycle such that its associated tropical is "strongly extremal" in Dop, p((C)n). In particular, if these conditions hokd for the effective cycles, then the associated current are extremal in the cone of strongly positive closed currents of bidimension (p, p) on (C)n. Nexte we explain how to extend the currents and extremality results to CPn. Further, we demonstrate how to use the intersection theory of currents to derive an intersection theory for the inderlying tropical cycles. The explicit calculations will be established by using e formula for the real Monge-Ampère measure of a tropical polynomial. Moreoer, since such tropical currents are obtained by an averaging of integration currents on toric sets, an equality between toric intersection multipmicities and the tropical multiplicities is readily settled. Finally, we explain certain relations between approximation problems of tropical cycles by amoebas of algebraic cycles and approximations of the associated currents by positive multiples of integration currents along analytic cycles. Il will be discussed haw these approximtion problems are related to a stronger formulation of the celebrated hodge conjecture.


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