Principe d'invariance individuel pour une diffusion dans un environnement périodique.

par Moustapha Ba

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Pierre Mathieu.

Le président du jury était Etienne Pardoux.

Le jury était composé de Ahmadou Bamba Sow, Andreǐ L. Pianitski, Thierry Gallouët.

Les rapporteurs étaient Jean-Dominique Deuschel, Antoine Lejay.


  • Résumé

    Nous montrons ici, en utilisant les méthodes de l'analyse stochastique, le principe d'invariance pour des diffusion sur $\mathbb{R} ^{d},d\geq 2$, en milieu périodique au delà des hypothèses d'uniforme ellipticité et au delà des hypothèses de régularité sur le potentiel. La théorie du calcul stochastique pour les processus associés aux formes de Dirichlet est largement utilisée pour justifier l'existence du processus de Markov à temps continus, défini pour presque tout point de départ sur $\mathbb{R} ^{d}$. Pour la preuve du principe d'invariance, nous montrons une nouvelle inégalité de type Sobolev avec des poids différents, qui nous permet de déduire l'existence et la bornitude d'une densité de la probabilité de transition associée au processus de Markov. Cette inégalité, est l'outil principal de ce travail. La preuve fera appel à des techniques d'analyse harmonique. Enfin, le chapitre 3 contient le résultat principal du travail de la thèse : le principe d'invariance qui veut dire que la suite de processus $(_{\varepsilon }X_{t\varepsilon ^{-2}})$ converge en loi quand $\varepsilon$ tend vers zéro vers un mouvement Brownien. Notre stratégie suit quelques étapes classiques : nous nous appuyons sur la construction de ce qu'on appelle ici correcteur. Afin de contrôler le correcteur, et aussi pour montrer son existence, nous nous appuyons sur l'inégalité de Sobolev. Le resultat est obenu seulement avec les hypothèses, le potentiel $V$ est périodique et satisfait: $e^{V}+e^{-V}$ locallement dans $L^{1}\left( \mathbb{R} ^{d};dx\right)$ ou $dx$ est la mesure de Lebesgue.

  • Titre traduit

    Individualite invariance principle for diffusions in a periodic environment


  • Résumé

    We prove here, using stochastic analysis methods, the invariance principle for a $\mathbb{R} ^{d}$ diffusions $d\geq 2$, in a periodic potential beyond uniform boundedness assumptions of potential. The potential is not assumed to have any regularity. So the stochastic calculus theory for processes associated to Dirichlet forms is used to justify the existence of a continuous Markov process starting from almost all $x\in \mathbb{R} ^{d}$ and denoted by $\left( X_{t},t>0\right)$ (cf chapter 1). In chapter 2, we prove a new Sobolev inequality with different weights by using some materials in harmonic analysis. In chapter 3, we prove the main result (Theorem 1) of this work: the invariance principle. Our strategy for proving Theorem 1 follows some classical steps: we rely on the construction of the so-called corrector. In order to control the corrector, and actually also in order to show its existence, we rely on the Sobolev inequality. All the work is done under the following hypothesis: the potential $V$ is periodic and satisfies $e^{V}+e^{-V}$ are locally in $L^{1}\left( \mathbb{R} ^{d};dx\right)$ where $dx$ is the Lebesgue measure.


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