Monotonie et différentiabilité de la vitesse de la marche aléatoire excitée

par Cong Dan Pham

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Pierre Mathieu.

Le président du jury était Ofer Zeitouni.

Le jury était composé de Nadine Guillotin-Plantard, Bruno Schapira, Fabienne Castell.

Les rapporteurs étaient Jean Bérard.


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous nous intéressons à la monotonie de la vitesse de la marche aléatoire excitée (MAE) avec biais $bein[0,1]$ dans la première direction $e_1$. Nous présentons une nouvelle preuve de la monotonie de la vitesse pour des grandes dimensions $dgeq d_0$ et pour le cas où le paramètre $be$ est petit quand $dgeq 8$. Ensuite, nous considérons les marches aléatoires avec plusieurs cookies aléatoires. La monotonie de la vitesse est ausi prouvée pour les cas particuliers par exemple des dimensions sont grandes, le paramètre de dérive $be$ est petit ou le nombre de cookies est grand. Ce sont les cas où la marche aléatoire est proche à la marche aléatoire simple. Pour l'existence de la vitesse, nous avons montré la loi des grands nombres pour un cas particulier du cookie aléatoire stationaire, mais nous n'arrivons pas encore pour le cas stationaire. Sur la monotonie, nous avons aussi vérifié que le nombre de points visités par la marche aléatoire simple avec biais $be$ est croissant.Finalement, une question très interessant: la monotonie de la vitesse, est-elle vraie pour la MAE pour les petites dimensions $2leq dleq 8.$ Pour cette motivation, nous avons prouvé que la vitesse est indéfiniment différentiable pour $be>0.$ Au point critique $0$, nous avons prouvé que la dérivée de la vitesse existe et égale $0$ pour $d=2$, existe et est positive pour $dgeq 4.$ Mais nous ne savons pas encore si la dérivée de l'ordre 2 en point $0$ existe ou au moin la dérivée est continue en $0$ pour prouver la monotonie de la vitesse au voisinage de $0$?

  • Titre traduit

    Monotonicity and differentiability of the speed of the excited random walk


  • Résumé

    In this thesis, we are interested in the monotonicity of the speed of the excited random walk (ERW) with bias $bein[0,1]$ in the first direction $e_1.$ The speed is defined as the limit obtained by the law of large number for the horizontal component. The speed depend on the bias $be.$ We present a new proof of the monotonicity of the speed for the dimension $dgeq d_0$, where $d_0$ is large enough, or for the parameter $be$ is small when $dgeq 8$. After that, we consider the random walk with multi-random cookies. The monotonicity of the speed is also proved for some particular cas, for exemple when the dimension is high, or the parameter drift is small, or the number of cookies is large. These are the cas where the walk is near the simple random walk. For the existence of the speed, we also proved the law of large number for a particular cas of stationary cookie but we haven't yet gotten the cas stationary. On the monotonicity, we also proved the rang of the simple random walk with drift $be$ is increasing in the drift. Finally, a question very interesting: the monotonicity of the speed of ERW is true for the small dimension $2leq dleq 8$, isn't it? For this motivation, we proved the speed is infinitly differentiable for all $be>0.$ At the critical point $0,$ we also proved the derivative of the speed at $0$ exists and equals $0$ for $d=2$, exists and is positive for $dgeq 4.$ But we haven't yet known if the derivative of order $2$ at $0$ exists or at least the derivative is continuous at $0$ to prove the monotonicity of the speed in a neighbor of $0$.


Il est disponible au sein de la bibliothèque de l'établissement de soutenance.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université d'Aix-Marseille. Service commun de la documentation. Bibliothèque électronique.
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.