Thèse soutenue

Croissance du volume des boules dans les revêtements universels des graphes et des surfaces
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Auteur / Autrice : Steve Karam
Direction : Stéphane Sabourau
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques pures
Date : Soutenance le 04/12/2013
Etablissement(s) : Tours
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire)
Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire de mathématiques et physique théorique (Tours ; 1996-2017)
Jury : Président / Présidente : Gilles Courtois
Examinateurs / Examinatrices : Marc Peigne, Ahmad El Soufi
Rapporteurs / Rapporteuses : Florent Balacheff, Christophe Bavard

Résumé

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Dans le cadre de la géométrie riemannienne globale sans hypothèse de courbure en lien avec la topologie, nous nous intéressons au volume maximal des boules de rayon fixé dans les revêtements universels des graphes et des surfaces. Dans la première partie, nous prouvons que si l’aire d’une surface riemannienne fermée M de genre g ≥ 2 est suffisamment petite par rapport à son aire hyperbolique, alors pour chaque rayon R ≥ 0, le revêtement universel de M contient une R-boule d’aire au moins l’aire d’une cR-boule dans le plan hyperbolique, où c ∈ (0; 1) est une constante universelle. En particulier (quitte à prendre l’aire de la surface encore plus petite), nous démontrons que pour chaque rayon R ≥ 1, le revêtement universel de M contient une R-boule d’aire au moins l’aire d’une R-boule dans le plan hyperbolique. Ce résultat répond positivement pour les surfaces, à une question de L. Guth. Nous démontrons également que si Γ est un graphe connexe de premier nombre de Betti b ≥ 2 et de longueur suffisamment petite par rapport à la longueur d’un graphe trivalent Γb de premier nombre de Betti b dont la longueur de chaque arête est 1, alors pour chaque rayon R ≥ 0, le revêtement universel de Γ contient une R-boule d’aire au moins c fois l’aire d’une R-boule dans le revêtement universel de Γb, où c ∈ ( ½ ; 1).