Nash modification on toric surfaces and higher Nash blowup on normal toric varieties

par Andrés Daniel Duarte

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Mark Spivakovsky.

Soutenue en 2013

à Toulouse 3 .

  • Titre traduit

    La modification de nash sur les surfaces toriques et l'éclatement de nash supérieur sur les variétés toriques normales


  • Résumé

    Dans la première partie de la thèse on étudie un algorithme combinatoire qui correspond à l'itération de la modification de Nash d'une variété torique. On montre que, dans le cas de la dimension deux, cet algorithme s'arrête pour certains choix de cartes affines de la modification de Nash. De plus, on donne une borne pour le nombre d'itérations nécessaire pour que l'algorithme s'arrête dans les cas que l'on considère. Soit C(x_1,x_2) le corps des fonctions d'une surface torique. Alors notre résultat implique que pour toute valuation v centrée sur la surface torique tel que v(x_1) n'est pas un multiple irrationnel de v(x_2), une itération finie de la modification de Nash donne une uniformisation locale le long de cette valuation. Dans la deuxième partie on étudie la notion d'éclatement de Nash supérieur d'une variété algébrique. Cette notion consiste à remplacer des points singuliers par des limites de certains espaces vectoriels associés aux points non singuliers de la variété. On donne une description combinatoire de l'éclatement de Nash supérieur dans le cas de variétés toriques normales. En utilisant cette description, on montre que l'analogue du théorème de Nobile sur l'éclatement de Nash usuel est aussi valide dans ce contexte. Plus précisément, on montre que pour une variété torique normale, l'éclatement de Nash supérieur est un isomorphisme si et seulement si la variété est non singulière.


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    In the first part of the thesis we explore a combinatorial algorithm that corresponds to the iteration of Nash modification on not necessarily normal toric varieties. We show that for toric surfaces this algorithm stops for certain choices of affine charts of the Nash modification. In addition, we give a bound on the number of steps required for the algorithm to stop in the cases we consider. Let C(x_1,x_2) be the field of rational functions of a toric surface. Then our result implies that for any valuation v centered on the toric surface such that v(x_1) is not an irrational multiple of v(x_2), a finite iteration of Nash modification gives local uniformization along this valuation. In the second part of the thesis we explore the notion of higher Nash blowup of an algebraic variety which is a modification that replaces singular points with limits of certain spaces carrying higher order data associated to the variety at non-singular points. In the case of normal toric varieties we give a combinatorial description of the higher Nash blowup in terms of a Groebner fan. This description allow us to prove the analogous of Nobile's theorem on the usual Nash blowup in this context. More precisely, we prove that for a normal toric variety, the higher Nash blowup is an isomorphism if and only if the variety is non-singular.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (82 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 79-82

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paul Sabatier. Bibliothèque universitaire de sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 2013 TOU3 0180
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