Ondes en milieux hétérogènes discrets et continus : propagation, diffusion, cloaking

par Grégory Futhazar

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Lalaonirina R. Rakotomanana et de Loïc Le Marrec.

Soutenue le 11-12-2013

à Rennes 1 , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes) , en partenariat avec Institut de recherche mathématique (Rennes) (laboratoire) et de IRMAR (laboratoire) .


  • Résumé

    Dans la première partie, on s'intéresse à la multi-diffusion d'une onde acoustique avec une matrice homogène 2D contenant N inclusions. Dans le cas particulier de deux inclusions, on met alors en évidence l'importance du contraste matrice/inclusion dans les termes d'interactions entre inclusions. Le cas général de la multi-diffusion, pour distribution aléatoire de N inclusions, est ensuite développé dans l'esprit de Foldy-Lax basé sur des moyennes d'ensembles. Ainsi on cherche à déterminer le nombre d'onde effectif de l'onde effective, définie comme la moyenne du champ total, dans le cas d'une onde incidente émise par un point source. La deuxième partie est consacrée au cloaking actif dans une plaque. On détermine ainsi les amplitudes modales des sources multipolaires afin d'éteindre une onde plane ou émise par un point source, dans une région donnée. En outre, cette méthode peut s'appliquer pour éteindre l'onde diffractée par un défaut. Enfin dans la dernière partie, on se propose d'étudier la propagation d'onde au sein d'un milieu comportant des dislocations. On utilise la géométrie de Riemann-Cartan afin de modéliser ce milieu continu. Afin d'illustrer les différences que peuvent induire deux définitions possibles de la déformation (spatiale et matérielle), nous étudions la propagation d'ondes 3D dans l'exemple simple d'un milieu continu avec une densité uniforme et stationnaire de défauts. L'anisotropie et l'atténuation sont présentes dans les deux modèles mais sous forme différente. Enfin la déformation matérielle induit des modes de respiration et, en régime haute fréquence, des ondes transverses qui suivent l'escalier en spirale de Cartan.

  • Titre traduit

    Waves in discrete and continuous heterogeneous media : propagation, scattering, cloaking


  • Résumé

    In the first part, we investigate the multiple scattering of an acoustic wave within an homogeneous matrix containing N obstacles. In the particular case with 2 obstacles, we show the importance of the contrast matrix /obstacle in the coupling terms between inclusions. The general case of multiple scattering by N obstacles randomly distributed is then developed following the Foldy-Lax theory based on ensemble averaging. We aim to evaluate the effective wavenumber of the effective wave, defined as the average of the total field, in the case where the incoming wave is emitted by a point-like source. The second part is dedicated to the active cloaking in a thin plate. Hence we determine the modal amplitudes of the sources in order to extinct an incoming wave in a given region. This method can be applied to extinct the wave scattered by an obstacle. Finally, in the last part, the Riemann-Cartan geometry is used to model continuum with dislocations. In order to illustrate the differences induced by two possible definitions for the strain (spatial or material) in this framework, propagation of 3D waves is studied for a simple example of infinite continuum with uniform and stationary defects density. Anisotropy and attenuation are caught by both models even if these effects are quite different. Furthermore the material strain uniform breathing modes and, in the high frequency regime, transverse waves which follow the Cartan's spiral staircase.


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