Rigidité et non-rigidité d'actions de groupes sur les espaces Lp non-commutatifs

par Baptiste Olivier

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Bachir Bekka.


  • Résumé

    Nous étudions des propriétés de rigidité et des propriétés de non-rigidité forte d'actions de groupes sur des espaces Lp non-commutatifs. Récemment, des variantes de la propriété (T) de Kazhdan et de la propriété de point fixe (FH) ont été introduites, appelées respectivement propriété (TB) et propriété (FB), et énoncées en termes de représentations orthogonales sur un espace de Banach B. Nous nous intéressons au cas où B est un espace Lp non-commutatif Lp(M), associé à une algèbre de von Neumann M. Dans un premier temps, nous montrons qu'un groupe possédant la propriété (T) possède la propriété (TLp(M)) pour toute algèbre de von Neumann M. On en déduit que les groupes de rang supérieur ont la propriété (FLp(M)). Nous montrons que pour certaines algèbres, comme par exemple M=B(H), les propriétés (T) et (TLp(M) sont équivalentes. A l'opposé, nous caractérisons les groupes possédant la propriété (Tlp), et montrons que cette classe de groupes est strictement plus grande que celle avec la propriété (T). Dans un second temps, nous introduisons des variantes de la propriété (H) de Haagerup, les propriétés (HLp(M)) et l' a-FLp(M)-menabilité, définies en termes d'actions sur l'espace Lp(M). Nous décrivons les liens entre la propriété (H) et sa variante (HLp(M)) suivant l'algèbre M considérée. Nous montrons que les groupes possédant (H) sont a-FLp(M)-menables pour certaines algèbres M, comme par exemple le facteur II infini hyperfini.

  • Titre traduit

    Rigidity and non-rigidity of group actions on non-commutative Lp spaces


  • Résumé

    We studied rigidity properties and strong non-rigidity properties for group actions on non-commutative Lp spaces. Recently, variants of Kazhdan's property (T) and fixed-point property (FH) were introduced, respectively called property (TB) and property (FB), and described in terms of orthogonal representations on a Banach space B. We are interested in the case where B is a non-commutative Lp space Lp(M), associated to a von Neumann algebra M. In a first part, we show that if a group has property (T), then it has property (TLp(M)) for any von Neumann algebra M. We deduce that higher rank groups have property (FLp(M)). We show that for some algebras, such as M=B(H), properties (T) and (TLp(M)) are equivalent. By contrast, we characterize groups with property (Tlp), and show that this class of groups is larger than the one with property (T). In a second part, we introduce variants of the Haagerup property (H), namely properties (HLp(M)) and a-FLp(M)-menability, defined in terms of actions on the space Lp(M). We describe relationships between property (H) and its variant (HLp(M)) for different algebras M. We show that groups with property (H) are a-FLp(M)-menable for some algebras M, such as the hyperfinite II infinite factor.


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