Paires admissibles d'une algèbre de Lie simple complexe et W-algèbres finies

par Guilnard Sadaka

Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs applications

Sous la direction de Anne Moreau et de Rupert Wei Tze Yu.

Le président du jury était Karin Baur.

Le jury était composé de Anne Moreau, Rupert Wei Tze Yu, Pol Vanhaecke.

Les rapporteurs étaient Caroline Gruson, Simon Goodwin.


  • Résumé

    Soient g une algèbre de Lie simple complexe et e un élément nilpotent de g. Nous nous intéressons dans ce mémoire à la question (soulevée par Premet) d'isomorphisme entre les W-algèbres finies construites à partir de certaines sous-algèbres nilpotentes de g dites e-admissibles. Nous introduisons les notions de paire et graduation e-admissibles. Nous montrons ensuite que la W-algèbre associée à une paire e-admissible possède des propriétés similaires à celle introduite par Gan et Ginzburg. De plus, nous définissons une relation d'équivalence sur l'ensemble des paires admissibles. Nous montrons alors que si deux paires sont équivalentes, alors les W-algèbres associées sont isomorphes. Nous introduisons enfin les notions de graduation et paire admissibles b-maximales et nous montrons que les paires admissibles b-maximales sont équivalentes entre elles. Comme conséquence de ce résultat, nous retrouvons un résultat de Brundan et Goodwin sur les bonnes graduations. Dans une dernière partie, nous considérons des cas particuliers pour lesquels nous pouvons apporter une réponse complète à la question d'isomorphisme.

  • Titre traduit

    Admissible pairs of a complex simple Lie algebra and finite W-algebras


  • Résumé

    Let g be a complex simple Lie algebra and e a nilpotent element of g. We are interested to answer the isomorphism question (raised by Premet) between the finite W-algebras constructed from some nilpotent subalgebras of g called e-admissible. We introduce the concept of e-admissible pair and e-admissible grading. We show then that the W-algebra associated to an e-admissible pair admits similar properties to that introduced by Gan and Ginzburg. Moreover, we define an equivalence relation on the set of admissible pairs and we show that if two admissible pairs are equivalent, it follows that the associated W-algebras are isomorphic. We introduce later the concepts of b-maximal admissible pair and b-maximal admissible grading and show that b-maximal admissible pairs are equivalent. As a consequence to this result, we recover a result of Brundan and Goodwin on the good gradings. In a final part, we consider some particular cases where we may find a complete answer to the isomorphism question.


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