Etude de la régularité des solutions faibles d’énergie infinie d’une équation de transport non locale

par Omar Lazar

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Marco Cannone.

Le président du jury était Thierry Cazenave.

Le jury était composé de Marco Cannone, Pierre Gilles Lemarié-Rieusset.

Les rapporteurs étaient Diego Cordoba, Marius-Gheorghe Paicu.


  • Résumé

    L'objet de cette thèse est l'étude de la régularité des solutions d'énergie infinie d'une équation de transport non locale. Plus précisément, nous nous sommes intéressés à deux équations de transport dont la vitesse est donnée par un opérateur non local. La première équation est l'équation dissipative surface quasi-géostrophique (SQG) et la seconde est un modèle 1D qui peut être vu comme la version 1D de l'équation quasi-géostrophique non écrite sous forme divergence. Une autre motivation du modèle 1D est le lien qu'a cette équation avec l'équation de Birkoff-Rott modélisant l'évolution d'une poche de tourbillon. Ces deux équations ont été introduites par Constantin, Majda et Tabak pour (SQG) et par Constantin, Lax, Majda pour le modèle 1D dans le but de mieux comprendre l'étude de la régularité des solutions de l'équation d'Euler tridimensionnelle écrite en terme de la vorticité. Dans une première partie, nous nous sommes attachés à étudier l'équation quasi géostrophique (SQG) lorsque la donnée initiale est dans l'espace de Morrey-Campanato non homogène $L^{2}_{uloc}(mathbb{R}^2)$. Le manque de décroissance à l'infini du noyau de convolution de l'opérateur de Riesz ne permet pas de considérer le cas d'une donnée intiale $L^{2}_{uloc}(mathbb{R}^2)$. Cependant, en donnant plus de décroissance au noyau de l'opérateur de Riesz, ou de façon équivalente, en donnant plus d'oscillations à la donnée initiale nous rendons possible l'étude de l'équation dans des espaces de Morrey-Camapanato. Nous montrons alors un théorème d'existence globale dans le cas d'oscillations suffisamment grandes et local dans le cas de petites oscillations. Dans une seconde partie, nous nous sommes intéressés à l'étude de l'équation de transport 1D dont la vitesse est non locale. Contrairement à l'équation (SQG), l'approche Morrey-Campanato pour l'équation 1D ne marche pas aussi bien. Le caractère non locale de cette équation associé au fait qu'elle ne soit pas écrite sous forme divergence introduit de grandes difficultés. Cependant, l'étude dans les espaces à poids est possible et nous obtenons un résultat d'existence globale à condition de prendre un poids appartenant à la classe A_2 de Muckenhoupt. Enfin, nous terminons en montrant que la condition de positivité de la donnée initiale n'est pas nécessaire si l'on désire uniquement avoir un contrôle globale de solutions faibles dont l'énergie ne décroit pas. Comme cela a été remarqué dans l'article de Cordoba, Cordoba et Fontelos, la décroissance de l'énergie n'est valable que sous l'hypothèse de positivité de la donnée initiale. Ceci rejoint un résultat établi récemment par Hongjie Dong

  • Titre traduit

    Study of weak infinite energy solutions for a non local transport equation


  • Résumé

    In this thesis, we adress the study of weak infinite energy solutions for the critical dissipative quasi geostrophic (SQG) equation. We also study a 1D transport equation with non local velocity. More precisely, we consider the (SQG) equation equation with data in Morrey-Camapanto type spaces and the other equation in a weighted Lebesgue spaces. Both spaces generate infinite energy solutions. Regarding the 1D equation with non local velocity, the existence of weak Morrey solutions is not easy to obtain, this is due to the fact that the non linearity is not written in a divergence form. Nevertheless, we are able to adress the study this 1D equation in a weigted Lebesgue space and this also provides infinite energy solutions. In a first part, we show that for any initial data lying in a Morrey-Campanato space for large enough oscillations, we have global existence of weak solutions. The proof is based on the study of the truncated equation (on a ball of radius $R>0$ centered at the origin) associated with a truncated et regularized initial data (by making a convolution with a standard mollifer). We obtain emph{a priori} estimates that give rise to an energy inequality. Then, we treat the case of small oscillations, namely $0<s<1/4$. More precisely, we show that for all initial data lying in $Lambda^{s} (dot H^{s}_{uloc} (mathbb{R}^{2}))cap L^infty(mathbb{R}^{2})$ we have local existence of solutions.In a second part, we study a 1D model equation driven by a non local velocity. This equation have been considered by Cordoba, Cordoba and Fontelos in a paper where the authors show that for all positive initial data in $H^{2} (mathbb{R}^{2})$ we have global existence of weak solutions. We first make some remarks regarding the positivity condition of the initial data by showing that this condition is not necessary for keeping the global control but we actually lost the $L^2$ maximum principle and the $L^{2}$ decay at inifinity. In the second part of the chapter, we show a global existence result of weak solutions for all positive initial data belonging to the weighted Lebesgue spaces $L^{2}(w)$ where $w$ is a weight of the $mathcal{A}_{2}$ class of Muckenhoupt. The method we used may easily be extend to other active scalar equations such as the surface quasi geostrophic equation


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