Dynamique de systèmes d'équations non-newtoniens

par Olivier Coulaud

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Geneviève Raugel et de Marius-Gheorghe Paicu.

Soutenue le 09-07-2013

à Paris 11 , dans le cadre de Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) .

Le président du jury était David Lannes.

Le jury était composé de Geneviève Raugel, Marius-Gheorghe Paicu, David Lannes, Didier Bresch, Dragos Iftimie, Nicolas Burq.

Les rapporteurs étaient Didier Bresch, Dragos Iftimie.


  • Résumé

    Cette thèse a pour objet l'étude du comportement asymptotique des solutions des équations des fluides de grades 2 et 3. Dans le premier chapitre, on étudie les profils asymptotiques au premier ordre des solutions des équations des fluides de grade 2 en dimension 3. On démontre que les solutions des équations des fluides de grade 2 convergent vers des solutions particulières et explicites des équations de la chaleur, lorsque le temps tend vers l'infini. Ce résultat montre en particulier que les fluides de grade 2 se comportent asymptotiquement comme les fluides newtoniens régis par les équations de Navier-Stokes. Pour cette étude, on utilise les variables d'échelles (ou variables autosimilaires), et on effectue des estimations d'énergies dans divers espaces fonctionnels, en particulier dans des espaces de Sobolev à poids polynomiaux. La description des profils asymptotiques est obtenue sous des conditions de petitesse sur les données initiales de l'équation.Le second chapitre de cette thèse traite des profils asymptotiques à l'ordre 1 des solutions des équations des fluides de grade 3 en dimension 2. À l'instar des résultats du premier chapitre, on obtient ici aussi la convergence des solutions de ces équations vers des solutions explicites des équations de la chaleur. Les outils utilisés pour cette étude sont semblables à ceux utilisés pour les fluides de grade 2 en dimension 3, à savoir les variables autosimilaires et des estimations d'énergies. Dans ce cas aussi, on conclut que les fluides de grade 3 se comportent asymptotiquement comme les fluides newtoniens.Dans le dernier chapitre, on étudie l'existence d'un attracteur pour les équations des fluides de grade 3 en dimension 2 avec des conditions périodiques. On considère donc les solutions faibles de ces équations à données initiales dans l'espace de Sobolev H¹. Ces solutions faibles définissent un semi-groupe généralisé. Ensuite, on montre que les solutions à données initiales dans H² possèdent un attracteur global pour la topologie H¹. Pour ce travail, on utilise un schéma de Galerkin, des estimations a priori et une méthode de monotonie. Les principales difficultés que l'on rencontre sont liées au peu de régularité des données initiales et au fait que l'on ne sait par si les solutions des équations des fluides de grade 3 à données H¹ sont uniques.

  • Titre traduit

    Dynamics of non-Newtonian systems of equations


  • Résumé

    This thesis is devoted to the study of the asymptotic behaviour of the solutions of the second and third grades fluids equations. In the first chapter, we study the asymptotic profiles to the first order of the solutions of the second grade fluids equations in dimension 3. We show that these solutions behave asymptotically (when the time goes to infinity) like explicit solutions to the heat equations. This result shows in particular that the asymptotic behaviour of the fluids of grade 2 is the same as the one of the Newtonian fluids, modelized by the classical Navier-Stokes equations. For this study, we use scaled variables (also called self-similar variables), and we perform energy estimates in several functions spaces, including weighted Sobolev spaces. Notice that the first order asymptotic expansion that we obtain holds under smallness assumptions on the initial data.In the second chapter of this thesis, we study the asymptotic profiles to the first order of the solutions of the third grade fluids equations in dimension 2. As in the previous chapter, we establish the convergence of these solutions to explicit solutions to the heat equations. The methods that we use are very similar to the ones used in the case of the second grade fluids equations on in dimension 3, namely scaled variables and energy estimates. We also conclude that the fluids of grade 3 behave asymptotically in time like Newtonian fluids.The last chapter is devoted to the study of the existence of an attractor for the third grade fluids equations in dimension 2 with periodic boundary conditions. We consider the weak solutions of these equations with initial data in H¹. These weak solutions define a generalized semiflow on H¹. Then, we show that the solutions with initial data in H² admit a global attractor for the H¹-topology. To this end, we use a Galerkin method, a priori estimates and a monotonicity method. The main difficulties come from the lack of regularity on the solutions and from the fact that these solutions are not known to be unique.


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