Explicit polynomial bounds for Arakelov invariants of Belyi curves

par Ariyan Javan Peykar

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jean-Benoît Bost et de Bas Edixhoven.

Soutenue le 11-06-2013

à Paris 11 en cotutelle avec l'Universiteit Leiden (Leyde, Pays-Bas) , dans le cadre de Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) et de Arithmétique et Géométrie Algébrique (équipe de recherche) .

Le président du jury était Jürg Kramer.

Le jury était composé de Jean-Benoît Bost, Bas Edixhoven, Qing Liu, Robin De‎ Jong, Gérard Freixas I Montplet, Peter Stevenhagen.

Les rapporteurs étaient Jürg Kramer, Qing Liu.

  • Titre traduit

    Bornes polynomiales et explicites pour les invariants arakeloviens d'une courbe de Belyi


  • Résumé

    On borne explicitement la hauteur de Faltings d'une courbe sur le corps de nombres algèbriques en son degré de Belyi. Des résultats similaires sont démontré pour trois autres invariants arakeloviennes : le discriminant, l'invariant delta et l'auto-intersection de omega. Nos résultats nous permettent de borner explicitement les invariantes arakeloviennes des courbes modulaires, des courbes de Fermat et des courbes de Hurwitz. En plus, comme application, on montre que l'algorithme de Couveignes-Edixhoven-Bruin est polynomial sous l’hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta des corps de nombres. Ceci était connu uniquement pour certains sous-groupes de congruence. Finalement, on utilise nos résultats pour démontrer une conjecture de Edixhoven, de Jong et Schepers sur la hauteur de Faltings d'un revêtement ramifié de la droite projective sur l'anneau des entiers.


  • Résumé

    We explicitly bound the Faltings height of a curve over the field of algebraic numbers in terms of the Belyi degree. Similar bounds are proven for three other Arakelov invariants: the discriminant, Faltings' delta invariant and the self-intersection of the dualizing sheaf. Our results allow us to explicitly bound these Arakelov invariants for modular curves, Hurwitz curves and Fermat curves. Moreover, as an application, we show that the Couveignes-Edixhoven-Bruin algorithmtime under the Riemann hypothesis for zeta-functions of number fields. This was known before only for certain congruence subgroups. Finally, we utilize our results to prove a conjecture of Edixhoven, de Jong and Schepers on the Faltings height of a branched cover of the projective line over the ring of integers.


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