Quelques liens entre la théorie de l'intégration non-additive et les domaines de la finance et de l'assurance

par Miryana Grigorova

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Marie-Claire Quenez.

Soutenue en 2013

à Paris 7 .


  • Résumé

    Cette thèse de doctorat fait quelques liens entre la théorie de l'intégration non-additive et les notions d'ordre stochastique et de mesure du risque utilisées en finance et en assurance. Nous faisons un usage extensif des fonctions d'ensembles monotones normalisées, appelées également capacités, ou encore probabilités non-additives, ainsi que des intégrales qui leur sont associées, appelées intégrales de Choquet. Dans le premier chapitre, nous établissons une généralisation des inégalités de Hardy-Littlewood au cas d'une capacité. Nous y faisons également quelques compléments sur les fonctions quantiles par rapport à une capacité. Dans le deuxième chapitre, nous généralisons la notion de dominance stochastique croissante convexe au cas d'une capacité, et nous résolvons un problème d'optimisation dont la contrainte est donnée en termes de cette relation généralisée. Dans le troisième chapitre, nous nous intéressons à la généralisation de la notion de dominance stochastique croissante. Nous étudions également les classes de mesures du risque satisfaisant aux propriétés d'additivité comonotone et de consistance par rapport à l'une des relations de dominance stochastique "généralisées" précédemment considérées. Nous caractérisons ces mesures du risque en termes d'intégrales de Choquet par rapport à une "distorsion" de la capacité initiale. Le quatrième chapitre est consacré à des mesures du risque admettant une représentation "robuste" en termes de maxima (sur un ensemble de fonctions de distorsion) d'intégrales de Choquet par rapport à des capacités distordues.

  • Titre traduit

    Some links between the non-additive integration theory and the fieds of finance and insurance


  • Résumé

    In this dissertation we establish some links between the non-additive integration theory and some useful notions in finance and insurance, such as the notions of stochastic ordering and risk measure. In the framework of ambiguity, the notion of capacity (or non-additive probability) replaces that of probability measure, and Choquet integrals replace the usual mathematical expectations. In this thesis, we extend the notions of increasing, and increasing convex stochastic dominance, well-known in the case of a probability, to this more general framework. We characterize these relations in terms of distribution functions and quantile functions with respect to the initial capacity. We also establish a generalization of Hardy-Littlewood's inequalities to the case of a capacity, which we apply in solving an optimization problem whose constrains are given by means of the "generalized" increasing convex relation. We are then interested in the classes of monetary risk measures having the properties of comonotonic additivity and consistency with respect to a given "generalized" stochastic dominance relation. These are characterized in terms of Choquet integrals with respect to a distorted capacity. A Kusuoka-type characterization of the class of risk measures having the properties of comonotonic additivity and consistency with respect to the "generalized" increasing convex ordering is also established. Finally, we are interested in those risk measures that have a "robust" representation as a maximum, over a set of distortion functions, of Choquet integrals with respect to a distortion of the initial capacity.

Autre version

Cette thèse a donné lieu à une publication en 2013 par [CCSD] [diffusion/distribution] à Villeurbanne

Quelques liens entre la théorie de l'intégration non-additive et les domaines de la finance et de l'assurance

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Informations

  • Détails : 1 vol. (129 p.)
  • Annexes : 68 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2013) 230
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