Groupe de tresses affine, algèbre de Temperley-Lieb affine et trace de Markov

par Sadek Al Harbat

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de François Digne.

Soutenue en 2013

à Paris 7 .


  • Résumé

    Dans cette thèse, on définit une tour d'algèbres de Temperley-Lieb affines de type à sur laquelle on définit une trace de Markov et on montre qu'il y a une unique telle trace. Pour y parvenir, on travaille sur quatre niveaux de type  : groupes de tresses affines, groupes de Coxeter affines, algèbres de Hecke affines et algèbres de Temperley-Lieb affines. Au niveau des tresses, on montre que le groupe de tresses affine de type À à n+1 générateurs se surjecte sur le groupe de tresses affine de type A à n générateurs, on montre que cette surjection provient d'un quotient sur un certain sous groupe et on définit une fermeture d'un élément de ce groupe que l'on appelle un lien affine. Au niveau Coxeter, on étudie le groupe de Coxeter affine de type à à n+1 générateurs, on donne un système complet de représentants des classes à gauche et des double-classes du groupe de Coxeter affine de type À à n générateurs, puis on classifie les éléments pleinement commutatifs et on en donne une forme normale. Au niveau Hecke, on définit une tour d'algèbres de Hecke affines de type À, on montre que cette tour est une tour d'inclusions, et on montre que cette tour "se surjecte" sur la tour d'algèbres de Hecke de type Ã. Au niveau Temperley-Lieb, on définit une tour d'algèbres de Temperley-Lieb affines de type À, on définit une trace de Markov comme une collection de traces sur cette tour dans sa forme la plus générale (compatibilité avec les liens affines). On obtient l'existence d'une telle trace en montrant que la tour mentionnée "se surjecte" sur la tour d'algèbres de Temperley-Lieb de type À et finalement on montre que cette trace est unique en utilisant la forme normale des éléments pleinement commutatifs.

  • Titre traduit

    Affine braid group, affine Temperley-Lieb algebra and Markov trace


  • Résumé

    In this thesis we define a tower of affine Temperley-Lieb algebras of Type  on which we define a Markov trace and we show that there is a unique such trace. In order to do so, we work on four levels of type À : affine braid groups, affine Coxeter groups, affine Hecke algebras and affine Temperley-Lieb algebras On the braid level, we show that À-type affine braid group with n+1 generators surjects onto A-type affine braid group with n generators, we prove that this surjection cornes from a quotient on a certain subgroup and we define a closure of an element of this group which is to be called an affine link. On the Coxeter level, we study the À-type affine Coxeter group with n+1 generators, we give a full set of representatives of left cosets and double cosets of the À-type affine Coxeter group with n generators, then we classify fully commutative elements and we give a normal form for such elements. On the Hecke level, we define a tower of A-type affine Hecke algebras, we show that this tower is a tower of inclusions, and we show that this tower surjects onto the tower of A-type Hecke algebras. On the Temperley-Lieb level, we define a tower of Â-type affine Temperley-Lieb, we define a Markov trace as a collection of traces on this tower in its most general form (compatibrirty with affine links). We get the existence of such trace by showing that the mentioned tower surjects onto the tower of A-type Temperley-Lieb algebras and finally we show that this trace is unique by making use of the normal form of the fully commutative elements.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (148 p.)
  • Annexes : 27 réf.

Où se trouve cette thèse\u00a0?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2013) 204
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