Combinatoire de substitutions de type Pisot

par Timothée Jolivet

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Valérie Berthé et de Jarkko Kari.

Soutenue en 2013

à Paris 7 en cotutelle avec l'Université of Turku .


  • Résumé

    Les substitutions sont des applications qui remplacent chaque lettre d'un alphabet par un mot sur le même alphabet. Elle agissent naturellement sur des suites infinies de symboles, et produisent des systèmes très structurés ayant beaucoup de propretés. Cette thèse porte sur l'étude d'une classe particulière vérifiant des restriction algébriques, les substitutions de type Pisot, et leurs objets associés, de nature dynamique, fractale ou combinatoire. Nous commençons par l'étude combinatoire de certaines propriétés qualitatives des motifs bi-dimensionnels engendrés par une version "duale" des substitutions de type Pisot. On applique ces résultats à l'étude des familles infinies de substitutions définies comme l'ensemble des produits finis sur un ensemble fini de susbtitutions. On obtient des propriétés dynamiques des systèmes symboliques associés, des caractérisations de certaines propriétés topologiques des fractals de Rauzy associés, des propriétés des valeurs propres Pisot associées, et des applications en géométrie discrète. Une attention particulière est portée sur les substitutions associées aux algorithmes de fraction continues multidimensionnels d'Arnoux-Rauzy, Brun et Jacobi-Perron. Ensuite nous donnons des constructions explicites pour donner une description complète des groupes fondamentaux de fractals de Rauzy planaires, dans le cas où le groupe est dénombrable. Dans les deux derniers chapitres, on s'affranchit de la condition algébrique Pisot, pour étudidier des objets plus généraux provenant des outils combinatoires utilisés dans les précédents chapitres, en insistant sur des questions d'(in)décidabilité calculatoire.

  • Titre traduit

    Combinatorics of Pisot substitutions


  • Résumé

    Substitutions are mappings which replace each symbol of a given alphabet by a word over the same alphabet. They naturally act over infinite sequences of symbols, and produce highly ordered Systems with many properties. This thesis concerns a particular class with algebraic restrictions, Pisot substitutions, and their related objects of dynamical, fractal o combinatorial nature. We begin with the combinatorial study of some qualitative properties of the two-dimensional patterns generated by iterating a two-dimensional "dual" version of Pisot substitutions. We apply these results to study the infinite families of substitutions obtained by taking arbitrary products over a finite set of Pisot substitutions. Applications include dynamica properties of the associated symbolic Systems, some language theoretical characterization of some topological properties of their associated Rauzy fractals, some number-theoretical properties of their associated Pisot numbers, and some results in discrete geometry. Particular focus is set on the substitutions associated with the Arnoux-Rauzy, Brun and Jacobi-Perron multidimensional continued fraction algorithms Next we give explicit construction to give a complete description of the possible fondamental groups of planar Rauzy fractals in the case where the group is countable. In the last two chapters, we "step back" from the Pisot algebraic assumption to study some more general objects arising from the combinatorial tools used in the previous chapters, focusing on some computational (un)decidability questions.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (147 p.)
  • Annexes : 179 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2013) 146
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