Non-intégrabilité algébrique et méromorphe de problèmes de n corps et de potentiels homogènes de degré - 1

• Auteur / Autrice : Thierry Combot
• Direction : Alain Albouy, Jacques-Arthur Weil
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes hamiltoniens

Galois, Théorie de

Systèmes intégrables

Mots clés libres

Théorème de Morales et Ramis

Résumé

Nous cherchons tous les potentiels homogènes de degré — 1 qui soient méromorphiquement intégrables au sens de Liouville. Bien qu'une classification complète soit encore hors de portée, nous connaissons déjà de nombreuses conditions nécessaires à l'intégrabilité. Notre objectif est ici ainsi de non seulement appliquer ces critères, mais aussi d'en construire d'autres plus contraignants, ce qui nous permettrait de progresser vers notre objectif de classification complète. Dans le cadre de cette thèse, on s'intéresse non seulement aux potentiels rationnels, mais aussi aux potentiels algébriques ce qui est nécessaire étant donné que nous souhaitons que notre étude inclue le problème de n corps. Dans un premier temps, nous définissons proprement ce qu'est le système dynamique associé à un potentiel algébrique dans le champ complexe ainsi que son intégrabilité, puis nous en déduisons que le critère usuel de Morales-Ramis-Simo pour le cas méromorphe est toujours valide. Ensuite nous construisons des conditions d'intégrabilité au second ordre, ce qui renforce les critères déjà connus. En effet, le théorème de Morales-Ramis nous donne des contraintes sur les dérivées d'ordre deux du potentiel en un point de Darboux, et notre critère étendu prend aussi en compte les dérivées d'ordre trois. Par la suite, nous continuons de raffiner ces critères d'intégrabilité dans le cas des potentiels du plan. Les conditions d'intégrabilité à un ordre arbitraire peuvent alors être calculées pour n'importe quelle famille de potentiels, mais sous une condition générique. Sans cette condition générique, nous calculons complètement les conditions d'intégrabilité à l'ordre trois, ce qui est suffisant, conjecturalement, pour traiter n'importe quelle famille de potentiels de dimension finie. Enfin, nous appliquons ce type de résultats dans le cadre du problème de n corps. L'invariance par rotation de ce type de problème mène d'autre part à des questions d'intégrabilité restreinte, et nous montrons alors que le problème des n corps à masses égales n'est pas intégrable mêmes en ce sens.

We are searching ail homogeneous potentials of degree — 1 meromorphically intégrable in the Liouville sense. Although a complete classification seems to be still out of reach, we already know several necessary conditions to integrability. Our goal is not only to apply these already existing criterions, but also to create new ones, stronger ones, which would help us to go towards our ultimate goal of complete classification. In this thesis, we are looking for not only rational potentials, but also algebraic potentials, which is necessary as we want our study to include the n body problem. First of all, we define properly what is the associated dynamical System to an algebraic potential in the complex domain, and its integrability. Then, we conclude that the usual criterion of Morales-Ramis-Simo for the meromorphic case still holds. Then we build second order integrability conditions, which are stronger than those already known. Indeed, the Morales-Ramis. Theorem gives us constraints on the second derivative of the potential at a Darboux points, and our criterion take also into account the third order derivatives. In the following, we continue to enhance these integrability criterions in the planar potential case. The integrability conditions at any order can then be computed for any family of potentials, but under a generic condition. Without this generic condition, we compute completely the integrability conditions up to third order, which is, hypothetically, enough to deal with any finite dimensional family of potentials. To conclude, we apply this type of results to the n body problem. The invariance by rotation of such problems lead also to questions about restricted integrability, and we then prove that the n body problem with equal masses is not integrable even in this restricted sense.