Algèbres enveloppantes quantiques généralisées, algèbres de Kac-Moody colorées et interpolation de Langlands

par Alexandre Bouayad

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de David Hernandez.

Soutenue en 2013

à Paris 7 .


  • Résumé

    We propose in this thesis a new deformation process of Kac-Moody (K-M) algebras and their representations. The direction of deformation is given by a collection of numbers, called a colouring. The natural numbers lead for example to the classical algebras, while the quantum numbers lead to the associated quantum algebras. We first establish sufficient and necessary conditions on colourings to allow the process depend polynomially on a formal parameter and to provide the generalised quantum enveloping (GQE) algebras. We then lift the restrictions and show that the process still exists via the coloured Kac-Moody algebras. We formulate the GQE conjecture which predicts that every representation in the category Oint of a K-M algebra can be deformed into a representation of an associated GQE algebra. We give various evidences for this conjecture and make a first step towards its resolution by proving that Kac-Moody algebras without Serre relations can be deformed into GQE algebras without Serre relations. In case the conjecture holds, we establish an analog result for coloured K-M algebras, we prove that the deformed representation theories are parallel to the classical one, we explicit a deformed Serre presentation for GQE algebras, we prove that the latter are the representatives of a natural class of formal deformations of K-M algebras and are h-trivial in finite type. As an application, we explain in terms of interpolation both classical and quantum Langlands dualities between representations of Lie algebras, and we propose a new approach which aims at proving a related conjecture of Frenkel-Hernandez. In general, we prove that representations of two isogenic coloured K-M algebras can be interpolated by representations of a third one. Observing that standard quantum algebras satisfy the GQE conjecture, we give a new proof of the previously mentioned classical Langlands duality (the first proofs are due to Littelmann and McGerty).

  • Titre traduit

    Generalised quantum enveloping algebras, coloured kac-moody algebras and langlands interpolation


  • Résumé

    Nous proposons dans cette thèse un nouveau processus de déformation des algèbres de Kac-Moody (K-M) et de leurs représentations. La direction de déformation est indiquée par une collection de nombres, appelée coloriage. Les nombres naturels mènent par exemple aux algèbres classiques, tandis que les nombres quantiques mènent aux algèbres quantiques. Nous établissons dans un premier temps des conditions nécessaires et suffisantes sur les coloriages, de telle sorte que le processus dépend polynômialement d'un paramètre formel et fournit les algèbres enveloppantes quantiques généralisées (algèbres GQE). Nous levons par la suite les restrictions et montrons que le processus existe toujours via les algèbres de Kac-Moody colorées. Nous formulons la conjecture GQE, qui prévoit que toute représentation dans la catégorie Oint d'une algèbre de K-M peut être déformée en une représentation d'une algèbre GQE associée. Nous donnons divers exemples pour lesquels la conjecture est vérifiée et réalisons une première étape vers sa résolution en prouvant que les algèbres de K-M sans relations de Serre peuvent être déformées en des algèbres GQE sans relations de Serre. Admettant la conjecture GQE, nous établissons un résultat analogue dans le cas des algèbres de K-M colorées, nous prouvons que les théories des représentations déformées sont parallèles à le théorie classique, nous explicitons une présentation de Serre déformée pour les algèbres GQE, nous prouvons que ces dernières sont les représentants d'une classe naturelle de déformations formelles des algèbres de K-M et sont h-triviales en type fini. En guise d'application, nous expliquons en termes d'interpolation les dualités de Langlands classique et quantique entre représentations d'algèbres de Lie et nous proposons une nouvelle approche afin de résoudre une conjecture apparentée de Frenkel-Hernandez. En général, nous prouvons qu'il est possible d'interpoler les représentations de deux algèbres d< K-M colorées isogéniques par les représentations d'une troisième. En observant que la conjecture GQE est vérifiée dans le cas des algèbres quantiques standards, nous donnons une nouvelle preuve de la dualité de Langlands classique mentionnée précédemment (les premières preuves sont dues à Littelmann et McGerty).

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Informations

  • Détails : 1 vol. (170 p. )
  • Annexes : 50 réf.

Où se trouve cette thèse\u00a0?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2013) 053
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