Cycles tautologiques sur les courbes et les jacobiennes

par Qizheng Yin

Thèse de doctorat en Mathématiques statistique

Sous la direction de Claire Voisin et de Ben Moonen.


  • Résumé

    Tautological classes are geometrically constructed classes of algebraic cycles. The geometry and enumerative properties of these classes are especially interesting. The first part of this thesis unifies two classical notions of tautological classes: one on the moduli space of curves (in the sense of Mumford, Faber, etc. ), and the other on the Jacobian of a curve (in the sense of Beauville, Polishchuk, etc. ). Following Polishchuk, we construct relations between tautological classes using the motivic structures of the Jacobian. With these relations, we obtain various consequences on the well-known conjectures of Faber. The second part is focused on detecting non-trivial tautological classes on the generic Jacobian. Using a degeneration argument due to Fakhruddin, we develop a simple invariant in this context. We detect non-trivial classes both in the Chow groups and in S. Saito's higher Griffiths groups. In particular, we obtain a new proof of a theorem of Green and Griffiths, as well as an improvement of a result of Ikeda.


  • Résumé

    Les classes tautologiques sont des classes de cycles algébriques construites de façon géométrique. La géométrie et les propriétés énumératives autour de ces classes sont particulièrement intéressantes. La première partie de cette thèse unifie deux notions classiques de classes tautologiques : l'une sur l'espace de modules des courbes (d'après Mumford, Faber, etc. ), et l'autre sur la jacobienne d'une courbe (d'après Beauville, Polishchuk, etc. ). Suivant Polishchuk, on construit des relations entre les classes tautologiques en utilisant les structures motiviques de la jacobienne. Avec ces relations, on obtient diverses conséquences sur les célèbres conjectures de Faber. La deuxième partie est consacrée à la détection des classes tautologiques qui ne s'annulent pas sur la jacobienne générique. En utilisant un argument de dégénération dû à Fakhruddin, on développe un invariant simple dans ce contexte. On détecte des classes non-triviales dans les groupes de Chow et dans les groupes de Griffiths supérieurs au sens de S. Saito. En particulier, on obtient une nouvelle preuve d'un théorème de Green et Griffiths, ainsi qu'une amélioration d'un résultat d'Ikeda.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (116 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p.114-107. Index. 88 réf. bibliogr.

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  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
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  • Cote : T Paris 6 2013 646
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