Corps quadratiques et formes modulaires

par Paloma Bengoechea

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Don Zagier.

Soutenue en 2013

à Paris 6 .


  • Résumé

    This thesis is devoted to the study of interactions between quadratic fields and modular forms. The first part is about real quadratic fields. We study how the theory of periods relates continued fractions and modular forms. Using reduction theories for binary quadratic forms of positive discriminant and Diophantine approximation on the projective real line, we prove some conjectures of Zagier and other unexpected results about certain real functions giving the even parts of the period polynomials of the modular forms which are the Fourier coefficients of the kernel function for the Shimura-Shintani lifts. We also improve a classic theorem of Serret on continued fractions. The second part is about imaginary quadratic fields. Modular forms related to Shimura-Shintani lifts appearing in the first part of the thesis arise from integral quadratic polynomials with positive discriminant. In the second part, we study the meromorphic analogues, with negative discriminant. Finally, we compute the Galois action on the special values of theta functions normalised by the Dedekind eta function using Shimura reciprocity law. As a consequence, we prove some experimental results of Cohen and Zagier and we deduce some results on the non-vanishing of these special theta values.


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l'étude d'interactions entre les corps quadratiques et les formes modulaires. La première partie porte sur les corps quadratiques réels. On étudie comment la théorie des périodes lie les fractions continues et les formes modulaires. En utilisant les théories de réduction des formes quadratiques binaires de discriminant positif et l'approximation Diophantienne sur la droite réelle projective, on démontre des conjectures de Zagier et d'autres résultats inattendus sur certaines fonctions réelles qui donnent lieu aux parties paires des polynômes de période des formes modulaires étant les coefficients de Fourier de la fonction noyau pour la correspondance de Shimura-Shintani. On améliore aussi un théorème classique de Serret sur les fractions continues. La deuxième partie porte sur les corps quadratiques imaginaires. Les formes modulaires liées à la correspondance de Shimura-Shintani qui apparaissent dans la première partie sont définies à partir de polynômes quadratiques à coefficients entiers et discriminant positif. Dans la deuxième partie, on étudie les analogues méromorphes, avec discriminant négatif. Enfin on calcule l'action de Galois sur des valeurs spéciales des fonctions theta normalisées par la fonction eta de Dedekind en utilisant la loi de réciprocité de Shimura. Comme conséquence, on démontre des résultats expérimentaux de Cohen et Zagier et on déduit des résultats sur la non-annulation de ces valeurs spéciales des fonctions theta.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (92 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p.[89]-91. 41 réf. bibliogr.

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  • Bibliothèque : Sorbonne Université. Bibliothèque de Sorbonne Université. Bibliothèque Mathématiques-Informatique Recherche.
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  • Cote : T Paris 6 2013 425
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