Contrôlabilité pour quelques équations aux dérivées partielles : contrôles insensibilisants et contrôle d'équations dégénérées

• Auteur / Autrice : Mamadou Gueye
• Direction : Sergio Guerrero Rodriguez
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Carleman, Méthode de

Équations différentielles dégénérées

Navier-Stokes, Équations de

Résumé

Ce travail est une contribution à l’étude théorique de quelques problèmes de contrôla-bilité issus pour la plupart de la mécanique des fluides. L’accent est mis plus particuliè-rement sur la contrôlabilité de systèmes du type Navier-Stokes avec un nombre réduit decomposantes et des équations dégénérées en une dimension d’espace. Dans le Chapitre 2, on s’intéresse à l’existence de contrôles insensibilisants pour le sys-tème de Navier-Stokes. On prouve la contrôlabilité à zéro d’un système linéaire, utilisantdes inégalités de Carleman connues. On travail alors dans des espaces à poids appropriéspour appliquer un théorème d’inversion locale. Dans le Chapitre 3, on complète les résul-tats du Chapitre 2 en prouvant l’existence de contrôles insensibilisant ayant au plus deuxcomposantes non nulles. A cet effet on démontre une nouvelle inégalité de Carleman adap-tée. Dans le Chapitre 4, on étend ces résultats au système plus complexe de Boussinesq. Deux composantes sont maintenant absentes dans la variable de contrôle des équations dufluide. Le Chapitre 5 est consacré à des problèmes de contrôlabilité pour des équations li-néaires paraboliques et hyperboliques, qui dégénèrent sur le bord de l’intervalle sur lequelelles sont posées. Dans un premier temps on s’intéresse aux équations hyperboliques pourlesquelles on démontre des inégalités d’observabilité optimales en utilisant la méthode desmoments. Puis nous obtenons la contrôlabilité des équations paraboliques via une méthodede transmutation.

Our work is a contribution to the theoretical study of some controllability problemsarising in fluid mechanics and various applied mathematics fields. We mainly focus on thecontrollability of Navier-Stokes type systems with fewer scalar controls. In Chapter 2, weinvestigate the existence of insensitizing controls for the Navier-Stokes system. We firstprove the null controllability for a linearized problem, using known Carleman estimates. Then, we work in special weighted functional classes to apply an inverse mapping theorem. In Chapter 3, we have managed to prove the same insensitivity results with a controlhaving at most two non zero components. We proved new Carleman estimates withparticular observation terms for this purpose. In Chapter 4, the results are extended tothe Boussinesq system with two vanishing components. The idea is to transpose the resultsof Chapter 3 to a more complex example. In Chapter 5, we investigate the exact controllability of linear parabolic and hyperbolicequations which degenerate at one end of the interval on which they are posed. First, weconsider the corresponding class of degenerate hyperbolic equations. Then, we prove sharpobservability estimates for these equations using non-harmonic Fourier series. We get thecontrollability of the degenerate parabolic equations using a transmutation method.