Around the fourth moment theorem of Nualart and Pecatti

• Auteur / Autrice : Salim Noreddine
• Direction : Ivan Nourdin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Malliavin, Calcul de

Mouvement brownien

Matrices aléatoires

Résumé

This dissertation provides new insights into central limit theorems for multiple stochastic integrals and random matrices. The cornerstone of this work is the central limit theorem by Nualart and Peccati (called the Fourth Moment Theorem in the sequel), stating that a necessary and sufficient condition for a sequence of unit-variance random variables belonging to a given Wiener chaos to converge to a standard normal law is that its fourth moment converges to 3. The first chapter contain two new results. First, we give an explicit upper bound for the distance between a vector of multiple stochastic integrals F and a Gaussian vector, as a function of the fourth-order cumulants of the components of F. Second, we generalize the explicit formula for cumulants of Nourdin and Peccati to the vectorial case and we use it to offer a new proof for the vectorial version, originally due to Peccati and Tudor of the Fourth Moment Theorem. The second chapter is devoted to proving a central limit theorem for complex random matrices with independent identically distributed entries admitting moments of any order. This result is a generalization of a theorem by Nourdin and Peccati , which was only focused on real random matrices. Finally, in the Third chapter one considers a free probability environment and establish an equivalent of the Fourth Moment Theorem by Nualart and Peccati for q-Gaussians. We consider possible extensions to the q-Gaussian case of some of the afore-mentioned results obtained in the Gaussian case. Note furthermore that Kemp, Nourdin, Peccati and Speicher have established a Fourth Moment Theorem for the free Brownian motion. Since the latter is a particular q-Brownian motion, this chapter may be seen as a generalization of the paper of these four authors.

Dans cette thèse on s'intéresse à l'étude du théorème du moment quatrième du à Nualart et Peccati, c'est un théorème central limite pour une suite d'intégrales stochastiques multiples, qui stipule que pour une suite de variables aléatoires appartenant à un chaos de Wiener d'ordre fixe et de variance unitaire, une condition nécessaire et suffisante pour qu'on est la convergence en loi vers une loi normale standard, et que le moment quatrième associé à cette suite converge vers 3. Dans un premier chapitre on va démontrer deux nouveau résultats, le premier consiste à donner une majoration explicite de la distance entre un vecteur d'intégrale multiple F est un vecteur gaussien en fonction des cumulants d'ordre quatrième des composantes du vecteur F, quant au deuxième résultat c'est une généralisation d'un résultat de Nourdin Peccati au cas vectoriel ou on donne une forme explicite des cumulants de F pour déduire à la fin une nouvelle démonstration du théorème du moment quatrième dans le cas vectoriel de Peccati et Tudor. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude d'un théorème centrale limite sur les matrices aléatoire complexe avec des entrées indépendantes et identiquement distribuées admettant des moments de tout ordre, ceci est une généralisation d'un résultat de Nourdin Peccati qui se limite au cas des matrices aléatoires réelles. Dans le troisième chapitre on aborde un autre champ celui des probabilités libre, ou on établit un équivalent du théorème du moment quatrième concernant les q-gaussiennes. Ainsi on a transposé quelques résultats du cas gaussien au cas q-gaussien, et on montre un théorème du moment quatrième pour le q-mouvement brownien, ce dernier est une interpolation entre le mouvement brownien et le mouvement brownien libre. On présentera aussi une application de ce théorème qui nous donne une version du théorème de Breuer Major adapté au q-mouvement brownien