Equations d'évolution sur certains groupes hyperboliques

par Alaa Jamal Eddine

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jean-Philippe Anker et de Vittoria Pierfelice.

Le président du jury était Aline Bonami.

Le jury était composé de Jean-Philippe Anker, Vittoria Pierfelice, Aline Bonami, Jacques Faraut, Alberto Setti, Maria Gabriella Kuhn.

Les rapporteurs étaient Jacques Faraut, Alberto Setti.


  • Résumé

    Cette thèse porte sur l’étude d’équations d’évolution sur certains groupes hyperboliques, en particulier, nous étudions l’équation de la chaleur, l’équation de Schrödinger et l’équation des ondes modifiée, d’abord sur les arbres homogènes, ensuite sur des graphes symétriques. Sur les arbres homogènes, nous montrons que, sous une hypothèse d’invariance de jauge, on a existence globale des solutions de l’équation de Schrödinger ainsi qu’un phénomène de ’scattering’ pour des données arbitraires dans l’espace des fonctions de carré intégrable sans restriction sur le degré de la non-linéarité, contrairement au cas euclidien ou au cas hyperbolique. Nous généralisons ensuite ce résultat sur les graphes symétriques de degré (k − 1)(r − 1) sous la condition k < r. Un de nos principaux résultats sur les graphes symétriques est l’estimation du noyau de la chaleur associé au laplacien combinatoire. Pour finir, nous établissons une expression explicite des solutions de l’équation des ondes modifiée sur les graphes symétriques.

  • Titre traduit

    Evolution equation on some hyperbolic groups


  • Résumé

    This thesis focuses on the study of evolution equations on certain hyperbolic groups, in particular, we study the heat equation, the Schrödinger equation and the modified wave equation first on homogeneous trees then on symmetric graphs. In the homogeneous trees case, we show that under a gauge invariance condition, we have global existence of solutions of the Schrödinger equation and scattering for arbitrary data in the space of square integrable functions without any restriction on the degree of the nonlinearity, in contrast to the euclidean and hyperbolic space cases. We then generalize this result on symmetric graphs of degree (k − 1)(r − 1) under the condition k < r . One of our main results on symmetric graphs is the estimate of the heat kernel associated to the combinatorial laplacian. Finally, we establish an explicit expression of solutions of the modified wave equation on symmetric graphs.


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