Extrapolation vectorielle et applications aux méthodes itératives pour résoudre des équations algébriques de Riccati

par Rola El-Moallem

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Saïd Belmehdi et de Hassane Sadok.

Soutenue le 12-12-2013

à Lille 1 , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire Paul Painlevé (laboratoire) .


  • Résumé

    Nous nous intéressons, dans cette thèse, à l'étude des méthodes d'extrapolation polynômiales et à l'application de ces méthodes dans l'accélération de méthodes itératives pour la résolution de l’équation algébrique de Riccati largement utilisée dans la théorie de transport. Pour ce type d’applications, l’extrapolation polynômiales réussit à accélérer la convergence même quand la convergence devient extrêmement lente. L'avantage de ces méthodes d'extrapolation est qu'elles utilisent uniquement une suite de vecteurs qui n'est pas forcément convergente, ou qui converge très lentement pour créer une nouvelle suite pouvant admettre une convergence quadratique. De plus, le développement de méthodes redémarrées (ou cycliques) permet de limiter le coût de calculs et de stockage. Une tâche importante relative à l’analyse du cas critique a été réalisée. une technique de décalage "shift technique" afin d’éliminer le problème lié à la singularité du la matrice Jacobienne ce qui rend la convergence linéaire plutôt que quadratique. En résumé, cette technique de "shift" transforme l’équation NARE à une autre dont la matrice Jacobienne est non singulier au voisinage de la solution. L’avantage de cette transformation est que la nouvelle équation a la même solution que l’équation d’origine. L’efficacité de l’approche proposée est illustrée à travers plusieurs comparaisons et résultats numériques.

  • Titre traduit

    Application of vector extrapolation on iterative methods to solve algebraic Riccati equations


  • Résumé

    In this thesis, we are interested in the study of polynomial extrapolation methods and their application as convergence accelerators on iterative methods to solve Algebraic Riccati equations arising in transport theory . In such applications, polynomial extrapolation methods succeed to accelerate the convergence of these iterative methods, even when the convergence turns to be extremely slow.The advantage of these methods of extrapolation is that they use a sequence of vectors which is not necessarily convergent, or which converges very slowly to create a new sequence which can admit a quadratic convergence. Furthermore, the development of restarted (or cyclic) methods allows to limit the cost of computations and storage. An interpretation of the critical case where the Jacobian matrix at the required solution is singular and quadratic convergence turns to linear is made. This problem can be overcome by applying a suitable shift technique. The original equation is transformed into an equivalent Riccati equation where the singularity is removed while the matrix coefficients maintain the same structure as in the original equation. The nice feature of this transformation is that the new equation has the same solution as the original one although the new Jacobian matrix at the solution is nonsingular. Numerical experiments and comparisons which confirm the effectiveness of the new approaches are reported.


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