Spécialisations de revêtements et théorie inverse de Galois

par François Legrand

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Pierre Dèbes.

Soutenue le 10-12-2013

à Lille 1 , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire Paul Painlevé (laboratoire) .


  • Résumé

    On s'intéresse dans cette thèse à des questions portant sur les spécialisations de revêtements algébriques (galoisiens ou non). Le thème central de la première partie de ce travail est la construction de spécialisations de n'importe quel revêtement galoisien de la droite projective de groupe G défini sur k dont on impose d'une part le comportement local en un nombre fini d'idéaux premiers de k et dont on assure d'autre part qu'elles restent de groupe G si le corps k est hilbertien. Dans la deuxième partie, on développe une méthode générale pour qu'un revêtement galoisien f de la droite projective de groupe G défini sur k vérifie la propriété suivante : étant donné un sous-groupe H de G, il existe au moins une extension galoisienne de k de groupe H qui n'est pas spécialisation du revêtement f. De nombreux exemples sont donnés. La troisième partie consiste en l'étude de la question suivante : une extension galoisienne F/k, ou plus généralement une k-algèbre étale ∏ Fl /k, est-elle la spécialisation d'un revêtement d'une variété B défini sur k (galoisien ou non) en un certain point k-rationnel de B non-ramifié ? Notre principal outil est un twisting lemma qui réduit la question à trouver des points k-rationnels sur certaines k-variétés que nous étudions ensuite pour des corps de base k variés.

  • Titre traduit

    Specializations of covers and inverse Galois theory


  • Résumé

    We are interested in this thesis in some questions concerning specializations of algebraic covers (Galois or not). The main theme of the first part consists in producing some specializations of any Galois cover of the projective line of group G defined over k with specified local behavior at finitely many given primes of k and which each have in addition Galois group G if k is assumed to be hilbertian. In the second part, we offer a systematic approach for a given Galois cover f of the projective line of group G defined over k to satisfy the following property: given a subgroup H of G, at least one Galois extension of k of group H is not a specialization of the cover f. Many examples are given. The central question of the third part is whether a given Galois extension F/k, or more generally a given k-étale algebra ∏ Fl /k, is the specialization of a given cover of a variety B defined over k (Galois or not) at some unramified k-rational point of B ? Our main tool is a twisting lemma which reduces the problem to finding k-rational points on some k-varieties which we then study for various base fields k.


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