Résultats asymptotiques sur des processus quasi non stationnaires

par Jurgita Markeviciute

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Charles Suquet et de Alfredas Račkauskas.

Soutenue le 25-10-2013

à Lille 1 en cotutelle avec Vilniaus universitetas , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire Paul Painlevé (laboratoire) .


  • Résumé

    Nous étudions certains théorèmes limite centraux fonctionnels hölderiens pour des processus autorégressifs d’ordre un quasi non stationnaires yn,k = φn yn,k−1 +εk et leurs résidus au sens des moindres carrés avec φn tendant vers 1 et des innovations i.i.d. centrées, de carré intégrable. Dans le cas φn = exp(γ/n) avec γ < 0, la limite en loi est une fonction d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck intégré. Dans le cas φn = 1 − γn /n avec γn tendant vers l'infini plus lentement que n, la convergence vers le mouvement brownien est établie dans l’espace de Hölder en termes de vitesse de divergence γn et d’intégrabilité des innovations εk. Comme application statistique de ces résultats, nous considérons une rupture épidémique dans les innovations de processus autorégressifs d’ordre un quasi non stationnaires AR(1). Deux types de modèles sont considérés. Pour 0 ≤ α < 1 nous construisons une statistique α-hölderienne basée sur les accroissements uniformes des observations ou des résidus pour détecter une courte rupture épidémique dans les processus considérés. Sous certaines hypothèses pour les innovations, nous trouvons la loi limite de la statistique sous l’hypothèse nulle, les conditions de consistance et nous effectuons une analyse de la puissance du test statistique. Nous discutons également l’interaction entre les différents paramètres pour la détectabilité des plus courtes épidémies.

  • Titre traduit

    Asymptotic results on nearly nonstationary processes


  • Résumé

    We study some Hölderian functional central limit theorems for the polygonal partial sum processes built on a first order nearly nonstationary autoregressive process yn,k = φn yn,k−1 + εk and its least squares residuals εk with φn converging to 1 and i.i.d. centered square-integrable innovations. In the case where φn = exp( γn /n) with a negative constant γ, we prove that the limiting process depends on Ornstein-Uhlenbeck one. In the case where φn = 1 − γn /n, with γn tending to infinity slower than n, the convergence to Brownian motion is established in Hölder space in terms of the rate of γn and the integrability of the εk’s. As a statistical application of these results, we investigate some epidemic change in the innovations of the first order nearly nonstationary autoregressive process AR(1). Two types of models are considered. For 0 ≤ α < 1, we build the α-Hölderian uniform increments statistics based on the observations and on the least squares residuals to detect the short epidemic change in the process under consideration. Under the assumptions for innovations we find the limit of the statistics under null hypothesis, some conditions of consistency and we perform a test power analysis. We also discuss the interplay between the various parameters to detect the shortest epidemics.


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