On two problems concerning the Laurent-Stieltjes coefficients of Dirichlet L-series

par Sumaia Saad Eddin

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Olivier Ramaré.

Soutenue le 10-06-2013

à Lille 1 , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire Paul Painlevé (laboratoire) .

  • Titre traduit

    Sur deux problèmes concernant les coefficients de Laurent-Stieltjes des séries L de Dirichlet


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous donnons des majorations explicites pour les constantes de Laurent-Stieltjes des séries L de Dirichlet dans deux cas différents. Ces constantes sont les coefficients qui interviennent dans le développement en série de Laurent des séries L de Dirichlet. Cette thèse est composée de trois parties : [A] Dans la première partie, nous donnons, à partir d'une idée due à Matsuoka pour la fonction zêta de Riemann, des majorations explicites de ces coefficients d'ordre élevé lorsque le conducteur du caractère de Dirichlet est fixé. Nous prolongeons la formule de Matsuoka aux fonctions L de Dirichlet et améliorons le résultat de Matsuoka. En utilisant cette majoration, nous déduisons aussi une approximation des fonctions L de Dirichlet au voisinage de z=1 par un polynôme de Taylor relativement court. [B] Dans la deuxième partie de cette thèse, nous donnons une majoration explicite du premier coefficient de Laurent-Stieltjes lorsque le caractère de Dirichlet est un caractère pair qui prend la valeur 1 en 2. Il s'agit là du cas le plus difficile. Ce résultat nous conduit à une amélioration du résultat de Ramaré. Nous en déduisons une majoration explicite pour le nombre des classes pour tout corps quadratique réel et améliorer ainsi un résultat de Le.[C] Dans la troisième partie, nous suivons la méthode de Ramaré pour donner une majoration explicite du premier coefficient lorsque le conducteur du caractère de Dirichlet est divisible par 3, améliorer un résultat de Louboutin.


  • Résumé

    In this thesis, we give an upper bound for the Laurent- Stieltjes constants for the Dirichlet L- series in two different cases. These constants are the coefficients of the expansion in Laurent series of the Dirichlet L-series. This thesis is divided to three parts: [A] In the first part, we give an explicit upper bound for these constants when the Dirichlet character is fixed and its order goes to infinity, starting from an idea due to Matsuoka for the zeta function. We extend the formula of Matsuoka to the Dirichlet L functions, improving previous results. By using this result, we also deduce an approximation of the Dirichlet L-functions in the neighborhood of z=1 by a short Taylor polynomial. [B] The second part of this thesis deals more specifically with the first Laurent- Stieltjes coefficient. We gave an improvement of the known explicit upper bound due to Ramaré for this quantity in the case when the Dirichlet character is even and takes the value1 at 2 (This is the most difficult case). Thanks to this result, we deduce an upper bound for the class number of any real quadratic field, improving on a result by Le.[C] In the last part, we follow the method of Ramaré for giving an upper bound of the first Laurent Stieltjes coefficient but this time in the case when the conductor of the character is divisible by 3. This result is an improvement on a result of Louboutin.


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