Topological asymptotic expansions for a class of quasilinear elliptic equations. Estimates and asymptotic expansions of condenser p-capacities. The anisotropic case of segments

par Alain Bonnafé

Thèse de doctorat en Mathématiques Appliquées

Sous la direction de Mohamed Masmoudi et de Samuel Amstutz.

Le président du jury était Francois Jouve.

Le jury était composé de Mohamed Masmoudi, Samuel Amstutz, Jean-pierre Raymond, Jean-paul Vila.

Les rapporteurs étaient Dorin Bucur, Michel Pierre.

  • Titre traduit

    Développements asymptotiques topologiques pour une classe d'équations elliptiques quasilinéaires. Estimations et développements asymptotiques de p-capacités de condensateurs. Le cas anisotrope du segment


  • Résumé

    La Partie I présente l’obtention du développement asymptotique topologique pour une classe d’équations elliptiques quasilinéaires. Un point central réside dans la possibilité de définir la variation de l’état direct à l’échelle 1 dans R^N. Après avoir défini un cadre fonctionnel approprié faisant intervenir les normes L^p et L^2, et avoir justifié la classe d’équations considérée, la méthode se poursuit par l’étude du comportement asymptotique de la solution du problème d’interface non linéaire dans R^N et par une mise en dualité appropriée des états direct et adjoint aux différentes étapes d’approximation.La Partie II traite d’estimations et de développements asymptotiques de p-capacités de condensateurs, dont l’obstacle est d’intérieur vide et de codimension > ou = 2. Après les résultats préliminaires, les condensateurs équidistants permettent de donner deux illustrations de l’anisotropie engendrée par un segment dans l’équation de p-Laplace, puis d’établir une minoration de la p-capacité N-dimensionnelle d’un segment, qui fait intervenir les p-capacités d’un point, respectivement en dimensions N et (N-1). Les condensateurs elliptiques permettent d’établir que le gradient topologique de la 2-capacité n’est pas un outil approprié pour distinguer les courbes des obstacles d’intérieur non vide en 2D


  • Résumé

    Part I deals with obtaining topological asymptotic expansions for a class of quasilinear elliptic equations. A key point lies in the ability to define the variation of the direct state at scale 1 in R^N. After setting up an appropriate functional framework involving both the L^p and the L^2 norms, and then justifying the chosen class of equations, the approach goes on with the study of the asymptotic behavior of the solution of the nonlinear interface problem in R^N and by setting up an adequate duality scheme between the direct and adjoint states at each step of approximation. Part II deals with estimates and asymptotic expansions of condenser p-capacities and focuses on obstacles with empty interiors and with codimensions > ou = 2. After preliminary results, equidistant condensers are introduced to point out the anisotropy caused by a segment in the p-Laplace equation, and to provide a lower bound to the N-dimensional condenser p-capacity of a segment, by means of the N-dimensional and of the (N-1)-dimensional condenser p-capacities of apoint. Introducing elliptical condensers, it turns out that the topological gradient of the 2-capacity is not an appropriate tool to separate curves and obstacles with nonempty interior in 2D


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Cette thèse a donné lieu à une publication en 2013 par INSA à Toulouse

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Informations

  • Sous le titre : Topological asymptotic expansions for a class of quasilinear elliptic equations. Estimates and asymptotic expansions of condenser p-capacities. The anisotropic case of segments
  • Détails : 1 vol. (184 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 179-184
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