Topological asymptotic expansions for a class of quasilinear elliptic equations. Estimates and asymptotic expansions of condenser p-capacities. The anisotropic case of segments

par Alain Bonnafé

Thèse de doctorat en Mathématiques Appliquées

Sous la direction de Mohamed Masmoudi et de Samuel Amstutz.

Soutenue le 16-07-2013

à Toulouse, INSA , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse) , en partenariat avec Institut de mathématiques de Toulouse (laboratoire) .

Le président du jury était Francois Jouve.

Le jury était composé de Mohamed Masmoudi, Samuel Amstutz, Jean-pierre Raymond, Jean-paul Vila.

Les rapporteurs étaient Dorin Bucur, Michel Pierre.

mots clés

• Équations elliptiques quasilinéaires
• Analyse asymptotique topologique
• Coexistence de deux normes
• Problème d’interface non linéaire
• P-capacités
• Obstacles de codimension > ou = 2
• Équations différentielles elliptiques quasilinéaires
• Développements asymptotiques

Titre traduit

Développements asymptotiques topologiques pour une classe d'équations elliptiques quasilinéaires. Estimations et développements asymptotiques de p-capacités de condensateurs. Le cas anisotrope du segment

Résumé

La Partie I présente l’obtention du développement asymptotique topologique pour une classe d’équations elliptiques quasilinéaires. Un point central réside dans la possibilité de définir la variation de l’état direct à l’échelle 1 dans R^N. Après avoir défini un cadre fonctionnel approprié faisant intervenir les normes L^p et L^2, et avoir justifié la classe d’équations considérée, la méthode se poursuit par l’étude du comportement asymptotique de la solution du problème d’interface non linéaire dans R^N et par une mise en dualité appropriée des états direct et adjoint aux différentes étapes d’approximation.La Partie II traite d’estimations et de développements asymptotiques de p-capacités de condensateurs, dont l’obstacle est d’intérieur vide et de codimension > ou = 2. Après les résultats préliminaires, les condensateurs équidistants permettent de donner deux illustrations de l’anisotropie engendrée par un segment dans l’équation de p-Laplace, puis d’établir une minoration de la p-capacité N-dimensionnelle d’un segment, qui fait intervenir les p-capacités d’un point, respectivement en dimensions N et (N-1). Les condensateurs elliptiques permettent d’établir que le gradient topologique de la 2-capacité n’est pas un outil approprié pour distinguer les courbes des obstacles d’intérieur non vide en 2D

mots clés

• Quasilinear elliptic equations
• Topological asymptotic analysis
• Two-norms discrepancy
• Nonlinear interface problem
• P-capacities
• Obstacles with codimension > ou = 2

Résumé

Part I deals with obtaining topological asymptotic expansions for a class of quasilinear elliptic equations. A key point lies in the ability to define the variation of the direct state at scale 1 in R^N. After setting up an appropriate functional framework involving both the L^p and the L^2 norms, and then justifying the chosen class of equations, the approach goes on with the study of the asymptotic behavior of the solution of the nonlinear interface problem in R^N and by setting up an adequate duality scheme between the direct and adjoint states at each step of approximation. Part II deals with estimates and asymptotic expansions of condenser p-capacities and focuses on obstacles with empty interiors and with codimensions > ou = 2. After preliminary results, equidistant condensers are introduced to point out the anisotropy caused by a segment in the p-Laplace equation, and to provide a lower bound to the N-dimensional condenser p-capacity of a segment, by means of the N-dimensional and of the (N-1)-dimensional condenser p-capacities of apoint. Introducing elliptical condensers, it turns out that the topological gradient of the 2-capacity is not an appropriate tool to separate curves and obstacles with nonempty interior in 2D