On some multi-phase problems in continuum mechanics

par Stefano Bosia

Thèse de doctorat en Mécanique

Sous la direction de Andrei Constantinescu.

Soutenue en 2013

à Palaiseau, Ecole polytechnique .

  • Titre traduit

    Sur certain problèmes multi-phase en mécanique des milieux continus


  • Résumé

    Ce travail de thèse affronte l'étude de divers problèmes surgissant de la mécanique du milieu continu. La première partie du manuscrit est dédiée à l'étude mathématique de certains modèles à interfaces diffuses qui décrivent la séparation de phase de mixtures binaires (par exemple, le grossissement de la taille des grains dans un alliage ou bien l'écoulement des fluides polymériques bistables). La seconde partie examine le fonctionnement de certains dispositifs électroniques, comme les jonctions p-n, sous l'effet de déformations mécaniques. La troisième partie présente un model pour la prédiction de la durée de vie pour des métaux polycristallins en régime de chargement cyclique. Un modèle typique de séparation de phase est le modèle H, qui est constitué d'une équation de Cahn-Hilliard convective couplée avec le système de Navier-Stokes par la force dite de Korteweg. On considère des variations de ce modèle qui tiennent compte, par exemple, d'une viscosité du fluide dépendante du cisaillement ou de constituants réagissant chimiquement entre eux. Tout d'abord, on étudie des questions de base comme l'existence, l'unicité et la régularité des solutions. Par la suite, on analyse le comportement asymptotique des systèmes dynamiques infini-dimensionnels générés par les systèmes étudiés. Plus précisément, on démontre l'existence d'attracteurs globaux, d'attracteurs exponentiels, d'attracteurs pullback et d'attracteurs de trajectoires pour les systèmes dynamique correspondants. On discute aussi la robustesse de ces ensembles invariants par rapport à des perturbations de certains paramètres du modèle. Nos résultats constituent une extension naturelle des propriétés connues pour le cas de l'écoulement d'un fluide simple qui représentent le cas de référence pour toute nouvelle technique proposée en littérature. Enfin, comme description plus précise des phénomènes de séparation de phase, on considère une équation de Cahn-Hilliard modélisant des interactions non-locales à travers un noyau singulier. En ce cas, des résultats d'existence et de régularité sont donnés. La seconde partie de cette thèse est dédiée à l'étude des effets de couplage entre les propriétés mécaniques et électroniques des semi-conducteurs. La modélisation des dispositifs électroniques choisie se base sur le modèle de diffusion et transport pour les électrons et les trous. Le dispositif est décrit comme un continu macroscopique standard avec, pour objectif, la compréhension des effets des déformations sur les propriétés électroniques du semi-conducteur et, en particulier, sur la caractéristique d'une jonction p-n. Ceci permet de proposer une formulation variationelle du système classique de diffusion et transport et de dériver un modèle thermodynamiquement consistent pour les effets électromécaniques couplés. Les déformations ont des effets en particulier sur les coefficients de mobilité et sur le terme de génération et recombinaison des porteurs. Deux solutions approximées sont étudiées : une développé à partir d'hypothèses physiques et l'autre qui comporte une expansion asymptotique. Ces résultats constituent une étape préalable pour la compréhension des dispositifs électroniques flexibles. La dernière partie de la thèse présente une application de la théorie des systèmes dynamiques à la prédiction de la durée de vie des métaux polycristallins sous chargement périodique pour grand nombre de cycle de chargement. Un nouveaux model est proposé et ses prévisions comparées avec les résultats connus dans la littérature.


  • Résumé

    This work discusses a series of modelling problems in continuum mechanics. The first part is devoted to the mathematical analysis of some diffuse interface models in phase separation of binary mixtures (e. G. , coarsening of alloys or bistable polymeric fluids). The second part discusses the function of electronic devices (in particular p-n junctions) under mechanical deformations. The third part presents a model for lifetime predictions in polycrystalline metals under periodic loading. A typical phase separation model is the well-known model H, constructed by coupling the convective Cahn-Hilliard equation with the Navier-Stokes system through the so-called Korteweg force. Here we consider some variants of the model which account, e. G. , for shear dependent viscosity or chemically reacting components. We first study basic issues like existence, uniqueness and regularity of solutions. Then we analyze the long-time behaviour of the infinite dimensional dissipative dynamical systems generated by the systems studied. More precisely, we prove the existence of global attractors, exponential attractors, pullback attractors and trajectories attractors for the corresponding dynamical systems. Also, we discuss the robustness of such invariant sets with respect to perturbations of some parameters of the model. The results obtained represent natural extensions of the properties known for single fluid flows, whose features are considered a benchmark for all new techniques proposed in the literature. Finally, as a more realistic description of phase separation phenomena, we introduce a Cahn-Hilliard equation accounting for nonlocal interactions through a singular kernel. In this case some well-posedness and regularity results are demonstrated. The second part of this work is devoted to the study of the coupling effects between mechanical and electronic properties in semiconductors. The modelling of the electronic device is based on the drift-diffusion model for electrons and holes. The device is viewed as a standard macroscopic continuum and the objective is to understand the effects of mechanical strain on the electronic properties of the semiconductor and in particular its effects on the characteristic curve of a p-n junction. This permits to propose a variational formulation of the classical drift-diffusion system and to derive a thermodynamically consistent model for the coupled electromechanical phenomena. The strain mainly influences the mobility coefficients and the generation/recombination term. Two approximate solutions are discussed, one based on only physical assumptions and one involving asymptotic expansions. This part of the work is a preliminary step towards the understanding of the properties of flexible electronic devices. The final part of the thesis presents an application of the theory of dynamical systems to predict the lifetime of polycrystalline metals undergoing a high cycle fatigue regime. A new model is proposed and compared with the existing literature.

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  • Détails : 1 vol. (290 p.)
  • Annexes : Bibliographie : 153 réf.

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  • Bibliothèque : École polytechnique. Bibliothèque Centrale.
  • Disponible pour le PEB
  • Bibliothèque : École polytechnique. Bibliothèque Centrale.
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  • Cote : G2A 279/2013/BOS
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