Autour de l'irrégularité des connexions méromorphes

On irregularity of meromorphic connexion

• Auteur / Autrice : Jean-Baptiste Teyssier
• Direction : Claude Sabbah
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique

Mots clés

Mots clés libres

Cycles proches

Connexions méromorphes

Irrégularité

Résumé

Les deux premières parties de cette thèse s'inscrivent dans le contexte des analogies entre l'irrégularité pour les connexions méromorphes et la ramification sauvage des faisceaux l-adiques. On y développe l'analogue pour les connexions méromorphes de la construction d'Abbes et Saito, tout d'abord dans le cas d'un trait, puis en dimension supérieure. En première partie, on prouve une formule explicite reliant les invariants produits par la construction d'Abbes et Saito appliquée à un module différentiel M aux parties les plus polaires des formes différentielles intervenant dans la décomposition de Levelt-Turrittin de M. Dans la seconde, on généralise en dimension supérieure l'observation issue de la première partie que sur un corps algébriquement clos, les modules produits par la construction d'Abbes et Saito sont des sommes finies de modules exponentiels associés à des formes linéaires. Dans la dernière partie de cette thèse, on montre que le lieu des points stables d'une connexion méromorphe M le long d'un diviseur lisse est un sous-ensemble de l'intersection des lieux où les faisceaux d'irrégularité de M et End M sont des systèmes locaux. Enfin, on discute d'une stratégie d'attaque de l'inclusion réciproque, et on démontre à l'aide d'un critère d'André pour les points stables que si elle est vraie en dimension 2, alors elle est vraie en toute dimension.

The first two parts of this thesis take place in the realm of analogies between the irregularity phenomenon for meromorphic connections and wild ramification for l-adic sheaves. We develope the analogue for meromorphic connections of Abbes and Saito's construction, first in the case of a trait, and then in higher dimension. In the first part, we prove an explicit formula relating the invariants produced by Abbes and Saito's construction applied to a differential module M to the most polar parts of the differential forms occuring in the Levelt-Turrittin decomposition of M. In the second part, we generalize to higher dimension the observation coming from the first part that on an algebraically closed field, the modules produced by Abbes and Saito's construction are finite sums of exponential modules associated to linear forms. In the last part of this thesis, we prove that the stable point locus of a meromorphic connection with poles along a smooth divisor is a subset of the intersection of the loci where the irregularity sheaves of M and End M are local systems. Finally, we discuss a strategy to attack the converse inclusion, and we prove that if it is true in dimension 2, then it is true in any dimension. This relies on André's criterion for stable points.