Les piles de sable Kadanoff

par Kévin Perrot

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Eric Remila et de Enrico Formenti.

Le président du jury était Marie-Pierre Béal.

Le jury était composé de Eric Remila, Enrico Formenti, Marie-Pierre Béal, Eric Goles, Laurent Vuillon, Stéphan Thomassé.

Les rapporteurs étaient Eric Goles, Laurent Vuillon.


  • Résumé

    Les modèles de pile de sable sont une sous-classe d'automates cellulaires. Bak et al. les ont introduit en 1987 comme une illustration de la notion intuitive d'auto-organisation critique.Le modèle de pile de sable Kadanoff est un système dynamique discret non-linéaire imagé par des grains cubiques se déplaçant de colonne parfaitement empilée en colonne parfaitement empilée. Pour un paramètre p fixé, une règle d'éboulement est appliquée jusqu'à atteindre une configuration stable, appelée point fixe : si la différence de hauteur entre deux colonnes consécutives est strictement supérieure à p, alors p grains chutent de la colonne de gauche, un retombant sur chacune des p colonnes adjacentes sur la droite.A partir d'une règle locale simple, décrire et comprendre le comportement macroscopique des piles de sable s'avère très rapidement compliqué. La difficulté consiste en la prise en compte simultanée des modalités discrète et continue du système : vue de loin, une pile de sable s'écoule comme un liquide ; mais de près, lorsque l'on s'attache à décrire exactement une configuration, les effets de la dynamique discrète doivent être pris en compte. Si par exemple nous ajoutons un unique grain à une configuration stable, celui-ci déclenche une avalanche qui ne modifie que la couche supérieure de la pile, mais dont la taille est très difficile à prédire car sensible au moindre changement sur la configuration.En analogie avec un sablier, nous nous intéressons en particulier à la séquence des points fixes atteints par l'ajout répété d'un nombre fini de grains à une même position, et à l'émergence de structures étonnamment régulières.Après avoir établi une conjecture sur l'émergence de motifs de vague sur les points fixes, nous nous pencherons dans un premier temps sur une procédure inductive de calcul des points fixes. Chaque étape de l'induction correspond au calcul d'une avalanche provoquée par l'ajout d'un nouveau grain, et nous en proposerons une description simple. Cette étude sera prolongée par la définition de trace des avalanches sur une colonne i, qui capture dans un mot d'un alphabet fini l'information nécessaire à la reconstitution du point fixe pour les colonnes à la droite de l'indice i. Des liens entre les traces à des indices successifs seront alors exploités, liens qui permettent de conclure l'émergence de traces régulières, pour lesquelles la reconstitution du point fixe implique la formation des motifs de vague observés. Cette première approche est concluante pour le plus petit paramètre conjecturé jusqu'ici, p=2.L'étude du cas général que nous proposons passe par la construction d'un nouveau système mêlant différentes représentations des points fixes, qui sera analysé par l'association d'arguments d'algèbre linéaire et combinatoires (liés respectivement aux modalités continue et discrète des piles de sable). Ce résultat d'émergence de régularités dans un système dynamique discret fait appel à des techniques nouvelles, dont la compréhension d'un élément de preuve reste en particulier à raffiner, ce qui permet d'envisager un cadre plus général d'appréhension de la notion d'émergence.

  • Titre traduit

    Kadanoff sandpiles


  • Résumé

    Sandpile models are a subclass of Cellular Automata. Bak et al. introduced them in 1987 for they exemplify the intuitive notion of Self-Organized Criticality.The Kadanoff sandpile model is a non-linear discrete dynamical system illustrating the evolution of cubic sand grains from nicely packed columns to nicely packed columns. For a fixed parameter p, a rule is applied until reaching a stable configuration, called a fixed point : if the height difference between two consecutive columns is strictly greater than p, then p grains fall from the left column, one landing on each of the p adjacent columns on the right.From a simple local rule, to describe and understand the macroscopic behavior of sandpiles is very quickly challenging. The difficulty consists in the simultaneous study of continuous and discrete aspects of the system: on a large scale, a sandpile flows like a liquid; but on a small scale, when we want to describe exactly the shape of a fixed point, the effects of the discrete dynamic must be taken into account. If for example we add a single grain on a stabilized sandpile, it triggers an avalanche that roughly changes only the upper layer of the configuration, but which size is hard to predict because it is sensitive to the tiniest change of the configuration.In analogy with an hourglass, we are particularly interested in the sequence of fixed points reached after adding a finite number of grains on one position, with the aim of explaining the emergence of surprisingly regular patterns.After conjecturing the emergence of wave patterns on fixed points, we firstly consider an inductive procedure for computing fixed points. Each step of the induction corresponds to the computation of an avalanche triggered by the addition of a new grain, for which we propose a simple description. This study is carried on with the definition of the trace of avalanches on a column i, which catches in a word among a finite alphabet enough information in order to reconstruct the fixed point on the right of index i. Links between traces on successive columns are then investigated, links allowing to conclude the emergence of regular traces, whose fixed point's reconstruction involves the appearance and maintain of the wave patterns observed. This first approach is conclusive for the smallest conjectured parameter so far, p=2.The study of the general case goes through the design of a new system meddling in different representations of fixed points, which will be analyzed via an association of arguments of linear algebra and combinatorics (respectively corresponding to the continuous and discrete modalities of sandpiles). This result stating the emergence of regularities in a discrete dynamical system put new technics into light, for which the comprehension of a particular point in the proof remains to be increased. This motivates the consideration of a more general frame of work tackling the notion of emergence.


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