Transient dynamics of beam trusses under impulse loads

par Yves Le Guennec

Thèse de doctorat en Mécanique dynamique des structures

Sous la direction de Didier Clouteau.

Le président du jury était Olivier Allix.

Le jury était composé de Didier Clouteau, Mohamed Ichchou, Brian Mace, Anthony Gravouil, Eric Savin.

  • Titre traduit

    Dynamique transitoire des treillis de poutres soumis à des chargements impulsionnels


  • Résumé

    Ce travail de recherche est dédié à la simulation de la réponse transitoire des assemblages de poutres soumis à des chocs. De tels chargements entraînent la propagation d’ondes haute fréquence dans l’ensemble de la structure. L’énergie qu’elles transportent peut être dommageable pour son fonctionnement ou celui des équipements embarqués. Dans des études précédentes, il a été observé sur des structures expérimentales qu’un régime vibratoire diffusif tend à s’installer pour des temps longs. Le but de cette étude est donc de développer un modèle robuste de la réponse transitoire des assemblages de poutres soumis à des chocs permettant de simuler, entre autres, cet état diffusif. Les champs de déplacement étant très oscillants et la densité modale élevée, la simulation numérique de la réponse transitoire à des chocs peut difficilement être menée par une méthode d’éléments finis classique. Une approche utilisant un estimateur de la densité d’énergie de chaque mode de propagation a donc été mise en œuvre. Elle permet d’accéder à des informations locales sur les états vibratoires, et de contourner certaines limitations intrinsèques aux longueurs d’onde courtes. Après avoir comparé plusieurs modèles de réduction cinématique de poutre à un modèle de Lamb de propagation dans un guide d’ondes circulaire, la cinématique de Timoshenko a été retenue afin de modéliser le comportement mécanique haute fréquence des poutres. En utilisant ce modèle dans le cadre de l’approche énergétique évoquée plus haut, deux groupes de modes de propagation de la densité d’énergie vibratoire dans une poutre ont été isolés : des modes longitudinaux regroupant un mode de compression et des modes de flexion, et des modes transversaux regroupant des modes de cisaillement et un mode de torsion. Il peut être également montré que l’´evolution en temps des densités d’énergie associées obéit à des lois de transport. Pour des assemblages de poutres, les phénomènes de réflexion/transmission aux jonctions ont du être pris en compte. Les opérateurs permettant de les décrire en termes de flux d’´energie ont été obtenus grâce aux équations de continuité des déplacements et des efforts aux jonctions. Quelques caractéristiques typiques d’un régime haute fréquence ont été mises en évidence, tel que le découplage entre les modes de rotation et les modes de translation. En revanche, les champs de densité d’énergie sont quant à eux discontinus aux jonctions. Une méthode d’éléments finis discontinus a donc été développée afin de les simuler numériquement comme solutions d’´equations de transport. Si l’on souhaite atteindre le régime diffusif aux temps longs, le schéma numérique doit être peu dissipatif et peu dispersif. La discrétisation spatiale a été faite avec des fonctions d’approximation de type spectrales, et l’intégration temporelle avec des schémas de Runge-Kutta d’ordre élevé du type ”strong stability preserving”. Les simulations numériques ont donné des résultats concluants car elles permettent d’exhiber le régime de diffusion. Il a été remarqué qu’il existait en fait deux limites diffusives différentes : (i) la diffusion spatiale de l’´energie sur l’ensemble de la structure, et (ii) l’équirépartition des densités d’énergie entre les différents modes de propagation. Enfin, une technique de renversement temporel a été développée. Elle pourra être utile dans de futurs travaux sur le contrôle non destructif des assemblages complexes et de grandes tailles.


  • Résumé

    This research is dedicated to the simulation of the transient response of beam trusses under impulse loads. The latter lead to the propagation of high-frequency waves in such built up structures. In the aerospace industry, that phenomenon may penalize the functioning of the structures or the equipments attached to them on account of the vibrational energy carried by the waves. It is also observed experimentally that high-frequency wave propagation evolves into a diffusive vibrational state at late times. The goal of this study is then to develop a robust model of high-frequency wave propagation within three-dimensional beam trusses in order to be able to recover, for example, this diffusion regime. On account of the small wavelengths and the high modal density, the modelling of high-frequency wave propagation is hardly feasible by classical finite elements or other methods describing the displacement fields directly. Thus, an approach dealing with the evolution of an estimator of the energy density of each propagating mode in a Timoshenko beam has been used. It provides information on the local behavior of the structures while avoiding some limitations related to the small wavelengths of high-frequency waves. After a comparison between some reduced-order beam kinematics and the Lamb model of wave propagation in a circular waveguide, the Timoshenko kinematics has been selected for the mechanical modelling of the beams. It may be shown that the energy densities of the propagating modes in a Timoshenko beam obey transport equations. Two groups of energy modes have been isolated: the longitudinal group that gathers the compressional and the bending energetic modes, and the transverse group that gathers the shear and torsional energetic modes. The reflection/transmission phenomena taking place at the junctions between beams have also been investigated. For this purpose, the power flow reflection/transmission operators have been derived from the continuity of the displacements and efforts at the junctions. Some characteristic features of a high-frequency behavior at beam junctions have been highlighted such as the decoupling between the rotational and translational motions. It is also observed that the energy densities are discontinuous at the junctions on account of the power flow reflection/transmission phenomena. Thus a discontinuous finite element method has been implemented, in order to solve the transport equations they satisfy. The numerical scheme has to be weakly dissipative and dispersive in order to exhibit the aforementioned diffusive regime arising at late times. That is the reason why spectral-like approximation functions for spatial discretization, and strong-stability preserving Runge-Kutta schemes for time integration have been used. Numerical simulations give satisfactory results because they indeed highlight the outbreak of such a diffusion state. The latter is characterized by the following: (i) the spatial spread of the energy over the truss, and (ii) the equipartition of the energy between the different modes. The last part of the thesis has been devoted to the development of a time reversal processing, that could be useful for future works on structural health monitoring of complex, multi-bay trusses.


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