Stabilité de l'équation d'advection-diffusion et stabilité de l'équation d'advection pour la solution du problème approché, obtenue par la méthode upwind d'éléments-finis et de volumes-finis avec des éléments de Crouzeix-Raviart

par Marcus Mildner

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Paul Deuring.

Le président du jury était Jean-Paul Chehab.

Le jury était composé de Hassane Sadok.

Les rapporteurs étaient Robert Eymard, Jean-Luc Guermond.


  • Résumé

    On considère le problème d’advection-diffusion stationnaire v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v) et non stationnaire d/dt (u(t), v) + v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (g(t), v), ainsi que le problème d’advection (β•∇u, v) = (f, v) sur un domaine polygonal borné du plan. Le terme de diffusion est approché par des éléments de Crouzeix Raviart et le terme de convection par une méthode upwind sur des volumes barycentriques finis avec un maillage triangulaire. Pour le problème stationnaire d’advection-diffusion, la L²-stabilité (c’est-à-dire indépendante du coefficient de diffusion v) est démontrée pour la solution du problème approché obtenue par cette méthode d’éléments finis et de volumes finis. Pour cela une condition sur la géométrie doit être satisfaite. Des exemples de maillages sont donnés. Toujours avec cette condition géométrique sur le maillage, une inégalité de stabilité (où la discrétisation en temps n’est pas couplée à une condition sur la finesse du maillage) est obtenue pour le cas non-stationnaire. La discrétisation en temps y est faite par un schéma d’Euler implicite. Une majoration de l’erreur, proportionnelle au pas en temps et à la finesse du maillage, est ensuite proposée et exprimée explicitement en fonction des données du problème. Pour le problème d’advection, une approche utilisant la théorie des graphes est utilisée pour obtenir l’existence et l’unicité de la solution, ainsi que le résultat de stabilité. Comme pour la stabilité du problème d’advection-diffusion, une condition géométrique - qui est équivalente pour les points intérieurs du maillage à celle du problème d’advection-diffusion - est nécessaire.

  • Titre traduit

    Stability for the convection-diffusion problem and stability for the convection problem discretized by Crouzeix-Raviart finite element using upwind finite volume-finite element method


  • Résumé

    We consider the stationary linear convection-diffusion equation v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v), the time dependent d/dt (u(t), v) + v(∇u,∇v)+( β•∇u, v)= (g(t), v) equation and the linear advection equation (β•∇u, v) = (f, v) on a two dimensional bounded polygonal domain. The diffusion term is discretized by Crouzeix-Raviart piecewise linear finite elements, and the convection term by upwind barycentric finite volumes on a triangular grid. For the stationary convection-diffusion problem, L²-stability (i.e. independent of the diffusion coefficient v) is proven for the approximate solution obtained by this combined finite-element finite-volume method. This result holds if the underlying grid satisfies a condition that is fulfilled, for example, by some structured meshes. Using again this condition on the grid, stability is shown for the time dependent convection-diffusion equation (without any link between mesh size and time step). An implicit Euler approach is used for the time discretization. It is shown that the error associated with this scheme decays linearly with the mesh size and the time step. This result holds without any link between mesh size and time step. The dependence of the corresponding error bound on the diffusion coefficient is completely explicit. For the stationary advection equation, an approach using graph theory is used to obtain existence, uniqueness and stability. As in the stationary linear convection-diffusion equation, the underlying grid must satisfy some geometric condition.

  • Titre traduit

    Stabilität des diffusions-konvektions-problems und stabilität des konvektions-problems für die losüng mittels upwind finite-elemente finte-volume methoden mit Crouzeix-Raviart elemente


  • Résumé

    Gegenstand der Arbeit ist die zweidimensionale stationäre Konvektion-Diffusionsgleichung v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v), die zeitabhängige Konvektion-Diffusionsgleichung d/dt (u(t), v) + v(∇u,∇v)+( β•∇u, v)= (g(t), v), sowie die Konvektionsgleichung (β•∇u, v) = (f, v). Der Diffusionsterm ist diskretisiert mittels Crouzeix-Raviart stückweise lineare Finite Elemente. Das Gebiet ist in Dreiecke unterteilt und der Konvektionsterm ist mittels einer upwind Methode auf Baryzentrische Finite Volumenelemente definiert. Für die stationäre Konvektion-Diffusionsgleichung, wird (d.h. von v unabhängige) L²-Stabilität der numerischen Lösung bewiesen. Voraussetzung dafür, ist die Erfüllung gewisser geometrischer Bedingungen an die Unterteilung des Gebiets. Beispiele von Unterteilungen die diese Bedingungen erfüllen, werden gegeben. Wieder an dieser geometrischen Bedingung geknüpft, wird Stabilität (d.h. die Zeitdiskretisierung ist entkoppelt von der Netzweite) für die zeitabhängige Konvektion-Diffusionsgleichung, bewiesen. Für die Zeitableitung wird dabei eine Implizite Euler Diskretisierung verwendet. Eine obere Schranke für den Diskretisierungsfehler, proportional zum Zeitdiskretisierungsparameter und zur Netzfeinheit, ausgedrückt als Funktion der Daten der Differenzialgleichung, wird gezeigt. Für die Konvektionsgleichung wird ein graphentheoretischer Zugang verwendet, der es ermöglicht Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität, zu bekommen. Für die Stabilität, werden ähnliche geometrische Bedingungen an die Unterteilung des Gebiets gestellt, wie beim stationären Konvektion-Diffusionsproblem.


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