Statistique des zéros non-triviaux de fonctions L de formes modulaires

par Damien Bernard

Thèse de doctorat en Mathématiques Pures

Sous la direction de Emmanuel Royer et de Guillaume Ricotta.

Soutenue le 09-12-2013

à Clermont-Ferrand 2 , dans le cadre de École doctorale des sciences fondamentales (Clermont-Ferrand) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques pures (Clermont-Ferrand) (équipe de recherche) .

Le président du jury était Christophe Delaunay.

Le jury était composé de Jie Wu, Frédéric Bayart.

Les rapporteurs étaient Jie Wu.


  • Résumé

    Cette thèse se propose d’obtenir des résultats statistiques sur les zéros non-triviaux de fonctions L. Dans le cas des fonctions L de formes modulaires, on prouve qu’une proportion positive explicite de zéros non-triviaux se situe sur la droite critique. Afin d’arriver à ce résultat, il nous faut préalablement étendre un théorème sur les problèmes de convolution avec décalage additif en moyenne de manière à déterminer le comportement asymptotique du second moment intégral ramolli d’une fonction L de forme modulaire au voisinage de la droite critique. Une autre partie de cette thèse, indépendante de la précédente, est consacrée à l'étude du plus petit zéro non-trivial d’une famille de fonctions L. Ces résultats sont en particulier appliqués aux fonctions L de puissance symétrique.

  • Titre traduit

    Statistics on non-trivial zeros of modular L-functions


  • Résumé

    The purpose of this dissertation is to get some statistical results related to nontrivial zeros of L-functions. In the modular case, we prove and determine an explicit positive proportion of non-trivial zeros lying on the critical line. In order to obtain this result, we need to extend a theorem on shifted convolution sums on average to be able to determine the asymptotic behaviour of the mollified second integral moment of a modular L-function close to the critical line. Independently of these results, we study the smallest non-trivial zero in a family of L-functions. These results are applied to symmetric power L-functions.


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