Dynamique des opérateurs sur les Grassmanniennes

par Romuald Ernst

Thèse de doctorat en Mathématiques Pures

Sous la direction de Frédéric Bayart.

Soutenue le 03-12-2013

à Clermont-Ferrand 2 , dans le cadre de École doctorale des sciences fondamentales (Clermont-Ferrand) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques pures (Clermont-Ferrand) (équipe de recherche) .

Le président du jury était Yanick Heurteaux.

Le jury était composé de Karl-Goswin Grosse-Erdmann, Isabelle Chalendar, Etienne Matheron, Stanislas Kupin.

Les rapporteurs étaient Karl-Goswin Grosse-Erdmann, Isabelle Chalendar.


  • Résumé

    Les travaux présentés dans cette thèse concernent la dynamique d'opérateurs pour des sous-espaces. Nous étudions principalement deux notions de dynamique pour des sous-espaces qui sont la n-supercyclicité et la forte n-supercyclicité. Dans une première partie, nous étudions l'existence de tels opérateurs dans le cadre des espaces de dimension finie et nous exhibons les indices de supercyclicité admissibles pour des espaces réels de dimension finie. Dans une deuxième partie, nous étudions en détail les opérateurs fortement n-supercycliques en exhibant leurs propriétés spectrales et en donnant des caractérisations pour certaines classes d'opérateurs. Nous détaillons ensuite une nouvelle notion de dynamique pour des sous-espaces de codimension finie et nous étudions les propriétés de tels opérateurs, en particulier le lien "dual" avec les opérateurs fortement n-supercycliques. Enfin, nous terminons avec une caractérisation des opérateurs chaotiques sur certains types d'espaces de suites sans base inconditionnelle, un critère de supercyclicité pour des opérateurs non-bornés et une condition suffisante pour obtenir un opérateur multiple mélangeant de tout degré.

  • Titre traduit

    Dynamics of linear operators on Grassmannians


  • Résumé

    This dissertation deals with some recent notions of linear dynamics of subspaces. In the first part, we provide a detailed study of n-supercyclicity and strong n-supercyclicicty in the finite dimensional setting. In particular we give a characterisation of the indices for which there exist n-supercyclic operators. We focus then on spectral properties of strongly n-supercyclic operators and on general properties as well. We also provide examples of operators whose supercyclic and strongly n-supercyclic behaviour are different. We introduce a new class of operators dealing with orbits of subspaces of finite codimension and we exhibit a \dual\ link with strong n-supercyclicity. Independently of these results, we give a characterisation of chaotic weighted shifts on a class of sequence spaces not necessarily admitting an unconditional basis. We conclude with a study of supercyclicity for unbounded operators and a sufficient condition to obtain multiple mixing operators.


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