Semidefinite programming in combinatorial optimization with applications to coding theory and geometry

par Alberto Passuello

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Christine Bachoc.

Soutenue le 17-12-2013

à Bordeaux 1 , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde) , en partenariat avec Institut de Mathématiques de Bordeaux (laboratoire) .

Le jury était composé de Dion Gijswijt, Arnaud Pêcher, Jean-Pierre Tillich, Gilles Zémor.

Les rapporteurs étaient Didier Henrion.

  • Titre traduit

    Programmation semidéfinie positive dans l’optimisation combinatoire avec applications à la théorie des codes correcteurs et à la géométrie


  • Résumé

    Une nouvelle borne supérieure sur le cardinal des codes de sous-espaces d'un espace vectoriel fini est établie grâce à la méthode de la programmation semidéfinie positive. Ces codes sont d'intérêt dans le cadre du codage de réseau (network coding). Ensuite, par la même méthode, l'on démontre une borne sur le cardinal des ensembles qui évitent une distance donnée dans l'espace de Johnson et qui est obtenue par une variante d'un programme de Schrijver. Les résultats numériques permettent d'améliorer les bornes existantes sur le nombre chromatique mesurable de l'espace Euclidien. Une hiérarchie de programmes semidéfinis positifs est construite à partir de certaines matrices issues des complexes simpliciaux. Ces programmes permettent d'obtenir une borne supérieure sur le nombre d'indépendance d'un graphe. Aussi, cette hiérarchie partage certaines propriétés importantes avec d'autres hiérarchies classiques. A titre d'exemple, le problème de déterminer le nombre d'indépendance des graphes de Paley est analysé.


  • Résumé

    We apply the semidefinite programming method to obtain a new upper bound on the cardinality of codes made of subspaces of a linear vector space over a finite field. Such codes are of interest in network coding.Next, with the same method, we prove an upper bound on the cardinality of sets avoiding one distance in the Johnson space, which is essentially Schrijver semidefinite program. This bound is used to improve existing results on the measurable chromatic number of the Euclidean space.We build a new hierarchy of semidefinite programs whose optimal values give upper bounds on the independence number of a graph. This hierarchy is based on matrices arising from simplicial complexes. We show some properties that our hierarchy shares with other classical ones. As an example, we show its application to the problem of determining the independence number of Paley graphs.


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