Echanges d'intervalles. Equations cohomologiques et distributions invariantes

par Hadda Hmili

Thèse de doctorat en Math?matiques. Math?matiques pures

Soutenue le 04-06-2012

à Valenciennes en cotutelle avec Facult? des Sciences de Bizerte (Tunisie) , dans le cadre de ?cole doctorale Sciences pour l'Ing?nieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire de math?matiques et leurs applications de Valenciennes (laboratoire) , Communaut? d'universit?s et d'?tablissements Lille Nord de France (P?le de recherche et d'enseignement sup?rieur (PRES)) et de Laboratoire de Math?matiques et leurs Applications de Valenciennes (laboratoire) .

Le président du jury était Leopold C.A. Verstraelen.

Le jury était composé de Aziz El Kacimi Alaoui, Isabelle Liousse, Mahel Mosbah, Pierre Arnoux, Ali Baklouti, Raymond Barre, Luc Vrancken.

Les rapporteurs étaient Pierre Arnoux, Ali Baklouti.


  • Résumé

    Dans cette th?se, on ?tudie deux th?mes, a priori diff?rents mais qui rentrent dans le cadre des syst?mes dynamiques : les ?changes d?intervalles, la r?solution d??quations cohomologiques et la description explicite des distributions invariantes par certains diff?omorphismes d?un groupe de Lie compact.1 - On ?tablit un crit?re d'existence de fonctions propres continues non constantes pour les ?changesd'intervalles, c'est-?-dire de non m?lange faible topologique. On construit pour tout entier m > 3des ?changes de m intervalles de rang 2 uniquement ergodiques et non topologiquement faiblementm?langeants. Nous r?pondons aussi ? une question de Ferenczi et Zamboni. On construit aussi pourtout entier pair m ? 4 des ?changes de m intervalles poss?dant des valeurs propres irrationnelles et desvaleurs propres rationnelles (avec fonctions propres associ?es continues par morceaux) et qui sont soituniquement ergodiques, soit non minimaux.2 - On montre qu?un ?change d?intervalles affine, dont les pentes sont des puissances d?un m?meentier n, et dont les coupures et leurs images sont des rationnels , a une dynamique tr?s simple : toutesses orbites sont propres et il poss?de une orbite p?riodique ou un cycle p?riodique.3 - On traite deux questions d?analyse sur un groupe de Lie connexe compact G. i) Soient a ? Get ? le diff?omorphisme de G donn? par ?(x) = ax (translation `a gauche par a). On donne lesconditions n?cessaires et suffisantes pour que l??quation cohomologique f ? f ? ? = g admette dessolutions dans l?espace de Fr?chet C?(G) des fonctions complexes C? sur G. ii) Lorsque G est le toreTn, on d?termine explicitement les distributions sur Tn invariantes par un automorphisme affine ? i.e.?(x) = Ax + a avec A ? GL(n, Z) et a ? Tn.4 - On donne des r?sultats obtenus dans 3) une application aux d?formations infinit?simales d?unfeuilletage obtenu par suspension d?une translation d?un groupe de Lie compact.


  • Résumé

    In this thesis, we study two subjects, which are priori different but are within the scopeof dynamical systems: interval exchange, the resolution of cohomological equationsand the explicit description of invariant distributions by a diffeomorphism on a compactLie group.1. We prove a criterion for the existence of continuous non constant eigenfunc-tions for interval exchange transformations which are non topologically weakly mixing.We first construct, for any m > 3, uniquely ergodic interval exchange transforma-tions of Q-rank 2 with irrational eigenvalues associated to continuous eigenfunctionswhich are not topologically weakly mixing; this answers a question of Ferenczi andZamboni [5]. Moreover we construct, for any even integer m ? 4, interval exchangetransformations of Q-rank 2 with both irrational eigenvalues (associated to continuouseigenfunctions) and non trivial rational eigenvalues (associated to piecewise continu-ous eigenfunctions); these examples can be chosen to be either uniquely ergodic ornon minimal.2. We prove that an affine interval exchange, whose slopes are integer powers ofthe same integer n, and whose cuts and their images are rational, has a very simpledynamic: all its orbits are proper and it has a periodic orbit or a periodic cycle.3. A third section deals with two analytic questions on a connected compact Liegroup G. i) Let a ? G and denote by ? the diffeomorphism of G given by ?(x) = ax(left translation by a). We give necessary and sufficient conditions for the existenceof solutions of the cohomological equation f ? f ? ? = g on the Fr?echet space C?(G)of complex C? functions on G. ii) When G is the torus Tn, we compute explicitly thedistributions on Tn invariant by an affine automorphism ?, that is, ?(x) = Ax+a withA ? GL(n, Z) and a ? Tn.4. We apply the results of the preceding section to describe the infinitesimaldeformations of a foliation obtained by suspension of a translation associated to anelement on a compact Lie group.


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