Méthodes d’optimisation numérique pour le calcul de stabilité thermodynamique des phases

par Khaled Boudjlida

Thèse de doctorat en Génie des procédés

Sous la direction de Dan Vladimir Nichita.


  • Résumé

    La modélisation des équilibres thermodynamiques entre phases est essentielle pour le génie des procédés et le génie pétrolier. L’analyse de la stabilité des phases est un problème de la plus haute importance parmi les calculs d’équilibre des phases. Le calcul de stabilité décide si un système se présente dans un état monophasique ou multiphasique ; si le système se sépare en deux ou plusieurs phases, les résultats du calcul de stabilité fournissent une initialisation de qualité pour les calculs de flash (Michelsen, 1982b), et permettent la validation des résultats des calculs de flash multiphasique. Le problème de la stabilité des phases est résolu par une minimisation sans contraintes de la fonction distance au plan tangent à la surface de l’énergie libre de Gibbs (« tangent plane distance », ou TPD). Une phase est considérée comme étant thermodynamiquement stable si la fonction TPD est non- négative pour tous les points stationnaires, tandis qu’une valeur négative indique une phase thermodynamiquement instable. La surface TPD dans l’espace compositionnel est non- convexe et peut être hautement non linéaire, ce qui fait que les calculs de stabilité peuvent être extrêmement difficiles pour certaines conditions, notamment aux voisinages des singularités. On distingue deux types de singularités : (i) au lieu de la limite du test de stabilité (stability test limit locus, ou STLL), et ii) à la spinodale (la limite intrinsèque de la stabilité thermodynamique). Du point de vue géométrique, la surface TPD présente un point selle, correspondant à une solution non triviale (à la STLL) ou triviale (à la spinodale). Dans le voisinage de ces singularités, le nombre d’itérations de toute méthode de minimisation augmente dramatiquement et la divergence peut survenir. Cet inconvénient est bien plus sévère pour la STLL que pour la spinodale. Le présent mémoire est structuré sur trois grandes lignes : (i) après la présentation du critère du plan tangent à la surface de l’énergie libre de Gibbs, plusieurs solutions itératives (gradient et méthodes d’accélération de la convergence, méthodes de second ordre de Newton et méthodes quasi- Newton), du problème de la stabilité des phases sont présentées et analysées, surtout du point de vue de leurs comportement près des singularités; (ii) Suivant l’analyse des valeurs propres, du conditionnement de la matrice Hessienne et de l’échelle du problème, ainsi que la représentation de la surface de la fonction TPD, la résolution du calcul de la stabilité des phases par la minimisation des fonctions coût modifiées est adoptée. Ces fonctions « coût » sont choisies de telle sorte que tout point stationnaire (y compris les points selle) de la fonction TPD soit converti en minimum global; la Hessienne à la STLL est dans ce cas positif définie, et non indéfinie, ce qui mène a une amélioration des propriétés de convergence, comme montré par plusieurs exemples pour des mélanges représentatifs, synthétiques et naturels. Finalement, (iii) les calculs de stabilité sont menés par une méthode d’optimisation globale, dite de Tunneling. La méthode de Tunneling consiste à détruire (en plaçant un pôle) les minima déjà trouvés par une méthode de minimisation locale, et a tunneliser pour trouver un point situé dans une autre vallée de la surface de la fonction coût qui contient un minimum 9 à une valeur plus petite de la fonction coût; le processus continue jusqu'à ce que les critères du minimum global soient remplis. Plusieurs exemples soigneusement choisis montrent la robustesse et l’efficacité de la méthode de Tunneling pour la minimisation de la fonction TPD, ainsi que pour la minimisation des fonctions coût modifiées.

  • Titre traduit

    Numerical optimisation methods for the phase thermodynamic stability computation


  • Résumé

    The thermodynamic phase equilibrium modelling is an essential issue for petroleum and process engineering. Phase stability analysis is a highly important problem among phase equilibrium calculations. The stability computation establishes whether a given mixture is in one or several phases. If a mixture splits into two or more phases, the stability calculations provide valuables initialisation sets for the flash calculations, and allow the validation of multiphase flash calculations. The phase stability problem is solved as an unconstrained minimisation of the tangent plan distance (TPD) function to the Gibbs free energy surface. A phase is thermodynamically stable if the TPD function is non-negative at all its stationary points, while a negative value indicates an unstable case. The TPD surface is non-convex and may be highly non-linear in the compositional space; for this reason, phase stability calculation may be extremely difficult for certain conditions, mainly within the vicinity of singularities. One can distinguish two types of singularities: (i) the stability test limit locus (STLL), and (ii) the intrinsic limit of stability (spinodal). Geometrically, the TPD surface exhibits a saddle point, corresponding to a non-trivial (at the STLL) or trivial solution (at the spinodal). In the immediate vicinity of these singularities, the number of iterations of all minimisation methods increases dramatically, and divergence could occur. This inconvenient is more severe for the STLL than for the spinodal. The work presented herein is structured as follow: (i) after the introduction to the concept of tangent plan distance to the Gibbs free energy surface, several iterative methods (gradient, acceleration methods, second-order Newton and quasi-Newton) are presented, and their behaviour analysed, especially near singularities. (ii) following the analysis of Hessian matrix eigenvalues and conditioning, of problem scaling, as well as of the TPD surface representation, the solution of phase stability computation using modified objective functions is adopted. The latter are chosen in such a manner that any stationary point of the TPD function becomes a global minimum of the modified function; at the STLL, the Hessian matrix is no more indefinite, but positive definite. This leads to a better scheme of convergence as will be shown in various examples for synthetic and naturally occurring mixtures. Finally, (iii) the so-called Tunneling global optimization method is used for the stability analysis. This method consists in destroying the minima already found (by placing poles), and to tunnel to another valley of the modified objective function to find a new minimum with a smaller value of the objective function. The process is resumed when criteria for the global minimum are fulfilled. Several carefully chosen examples demonstrate the robustness and the efficiency of the Tunneling method to minimize the TPD function, as well as the modified objective functions.


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