Semi-groupes de matrices et applications

par Paul Mercat

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Yves Benoist.

Soutenue le 11-12-2012

à Paris 11 , dans le cadre de Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) et de Topologie et Dynamique (équipe de recherche) .

Le président du jury était Gilles Courtois.

Le jury était composé de Yves Benoist, Gilles Courtois, Vincent Guirardel, Laurent Bartholdi, Frédéric Paulin.

Les rapporteurs étaient Vincent Guirardel, Laurent Bartholdi.


  • Résumé

    Nous étudions les semi-groupes de matrices avec des points de vue variés qui se re-coupent. Le point de vue de la croissance s’avère relié à un point de vue géométrique : nous avons partiellement généralisé aux semi-groupes un théorème de Patterson-Sullivan-Paulin sur les groupes, qui donne l’égalité entre exposant critique et dimension de Hausdorff de l’ensemble limite. Nous obtenons cela dans le cadre général des semi-groupes d’isométries d’un espace Gromov-hyperbolique, et notre preuve nous a permis d’obtenir également d’autres résultats nouveaux. Le point de vue informatique s’avère également relié à la croissance, puisque la notion de semi-groupe fortement automatique, que nous avons introduit, permet de calculer les exposants critiques exactes de semi-groupes de développement en base β. Et ce point de vue donne également beaucoup d’autres informations sur ces semi-groupes. Cette notion de croissance s’avère aussi reliée à des conjectures sur les fractions continues telles que celle de Zaremba. Et c’est en étudiant certains semi-groupes de matrices que nous avons pu démontrer des résultats sur les fractions continues périodiques bornées qui permettent de petites avancées dans la résolution d'une conjecture de McMullen.

  • Titre traduit

    Matrix semigroups and applications


  • Résumé

    We study matrix semigroups with different point of view that overlaps. The growth point of view seems to be related with the geometric point of view : we partially generalize to the semigroups a theorem on groups of Patterson-Sullivan-Paulin, that give the equality between the critical exponent and the Hausdorff dimension of the limit set. We obtain this in the general framework of isometries of a Gromov-hyperbolic space, and our proof give also others new results. The computer science point of view is also related to the growth, since we obtain a way to calculate exact values of critical exponents of somes β-adic development semigroups, from a notion of automatic semigroups that we introduce. Furthermore this point of view give a lot of information on these semigroups. This notion of growth shows to be also related to conjectures on continued fractions like Zaremba’s one. And by studing some matrix semigroups we were able to prove some results on bounded periodic continued fractions, doing a little step in the resolution of a conjecture of McMullen.


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