Explosion des solutions de Schrödinger de masse critique sur une variété riemannienne

par Thomas Boulenger

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Nicolas Burq et de Pierre Raphaël.

Soutenue le 12-11-2012

à Paris 11 , dans le cadre de Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) .

Le président du jury était Jean-Claude Saut.

Le jury était composé de Nicolas Burq, Pierre Raphaël, Jean-Claude Saut, Florian Méhats, Philippe Gravejat.

Les rapporteurs étaient Stephen J. Gustafson, Justin Holmer.


  • Résumé

    Ce travail cherche a comprendre comment l'ajout d'une géométrie non euclidienne dans un problème de Schrödinger non linéaire influe sur l'existence et l'unicité des solutions explosives de masse critique. On s'inspire pour beaucoup des travaux de Merle et Raphaël sur la méthode de modulation des paramètres d'invariance géométrique pour une EDP qui possède de bonnes lois de conservations. On s'appuie ici plus particulièrement sur un article de Raphaël et Szeftel qui prouve l'existence et l'unicité d'une solution de masse critique en dimension 2 pour l'équation de Schrödinger non linéaire avec potentiel d'inhomogénéité devant la non-linéarité, et qui explose par ailleurs au maximum de l'inhomogénéité. Dans un premier temps, il s'agit de reprendre la méthode dans son ensemble afin de l'adapter à des cas où le Laplacien n'est plus plat, et est remplacé par un opérateur de type Laplace-Beltrami ou Laplacien généralisé. Ayant mis en avant le rôle de la courbure au point d'explosion, en termes de conditions sur les dérivées de termes métriques, on reprend dans un deuxième temps l'étude dans le cas plus général d'une variété riemannienne. Grâce à un ansatz sur la solution qui intègre maintenant la transformation induite par la métrique, on est capable d'énoncer un résultat d'existence et d'unicité en termes de conditions géométriques sur la variété elle même. Par soucis de simplicité, on se limite néanmoins au rôle local de la métrique, en la supposant globalement définie dans une certaine carte, et asymptotiquement équivalente a la métrique euclidienne.

  • Titre traduit

    Blow-up solutions for the 2-dimensional critical Schrödinger equation on a riemannian manifold


  • Résumé

    The present work aims at investigating the effects of a non-euclidean geometry on existence and uniqueness results for critical blow up NLS solutions. We will use many ideas from the works of Merle and Raphaël, particularly ideas from modulation theory which describes a solution in terms of geometric invariants parameters. We will rely more specically on a paper from Raphaël and Szeftel for existence and uniqueness of a critical mass blow up solution in dimension two tothe nonlinear Schrödinger equation with inhomogeneous potential acting on the nonlinearity, and which blows up where the inhomogeneity reaches its maximum. At first, we consider a generalized Laplacian operator and deploy the classical ansatz method to point out difficulties inherited from the non-flat metric terms, and in particular the key role played by the curvature at the blow-up point. In a second part, we reproduce the method when modifying the geometrical ansatz on which the parametrix is constructed, and investigate more precisely what is needed for existence and then uniqueness when dealing with a Laplace-Beltrami operator associated to a riemannian manifold. For simplicity, we shall only consider the role of g locally around the blow up point we are constructing, by assuming g is globally defined in some map, and asymptotically equals the usual euclidean metric.


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