Etude de classes de fonctions de coût régulières

Study of classes of regular cost functions

• Auteur / Autrice : Denis Kuperberg
• Direction : Thomas Colcombet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Monoïdes

Théorie des automates mathématiques

Fonctions calculables -- Informatique

Mots clés libres

Automates de Büchi

Théorème de Rabin-Kupferman-Vardi

Résumé

Cette thèse se place dans la lignée des extensions quantitatives du modèle des automates finis. La théorie des fonctions de coût régulières, développée par Thomas Colcombet à la suite des travaux avec Mikolaj Bojanczyk, propose un cadre satisfaisant pour étendre de manière quantitative un large spectre de résultats portant sur les langages réguliers. L'objectif de cette thèse est d'obtenir de tels résultats, ainsi que d'étudier des classes plus spécifiques aux fonctions de coût, qui n'ont pas de contrepartie du côté des langages réguliers. La thèse se divise en trois parties pour identifier clairement le domaine sur lequel les fonctions de coût sont définies : mots finis, mots infinis et arbres infinis. Sur les mots finis et infinis, on généralise de nombreux résultats de théorie des langages réguliers, souvent en montrant l'équivalence entre plusieurs formalismes (en termes d'automates, de logique, ou de semigroupes). On montre en particulier que la notion de congruence syntactique peut s'étendre à ce cadre quantitatif. On étudie également la classe temporelle, propre aux fonctions de coût. Sur les arbres infinis, on montre que le théorème de Rabin-Kupferman-Vardi sur les langages se généralise de manière inattendue, et donne naissance à la classe des fonctions de coût quasi-faibles. L'étude de cette classe nous permet d'obtenir un résultat de décidabilité sur les langages d'arbres infinis : on peut décider si un langage Büchi est faible.

This thesis continues a serie of work aimaing at defining suitable quantitative extensions of the model of finite automata. The theory of regular cost functions, initiated by Colcombet and following work with Mikolaj Bojanczyk, is a satisfying framework to extend a large spectrum of results on regular languages to a quantitative setting. The aim of this thesis is to obtain such results, and also to study classes that are specific to the new framework of cost functions. The thesis is divided into three parts, according to the domain of the cost functions we are studying : finite words, infinite words, and infinite trees. On finite and infinite words, we generalise a number of results from the theory of regular languages, often by showing equivalence between different formalisms (in terms of automata, logics, or semigroups). In particular we show that we can extend the notion of syntactic congruence to this quantitative framework. We also study the temporal class, which does not have a counterpart in language theory. On infinite trees, we show that Rabin-Kupferman-Vardi theorem on languages is generalised in an unexpected way, and gives rise to the class of quasi-weak cost functions. The study of this class allows us to obtain a decidability result on inifinte tree languages : it is decidable whether a Büchi language is weak.