Equations de Mahler et hypertranscendance

• Auteur / Autrice : Pierre Nguyen Phu Qui
• Direction : Daniel Bertrand
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Galois, Théorie de

Analyse diophantienne

Indépendance algébrique

Résumé

Soit K un corps équipé d'un endomorphisme \sigma. Dans cette thèse, nous montrons que la théorie de Galois aux \sigma-différences bien connue dans le cas où \sigma est un automorphisme du corps K peut être adaptée au cas où \sigma n'est plus nécessairement surjectif, en passant à la clôture inversive de K. Nous utilisons ensuite cette théorie de Galois pour donner un critère d'indépendance algébrique pour les solutions de \sigma-équations du premier ordre. Ce résultat nous permet de caractériser les solutions hyperalgébriques de ces \sigma-équations lorsque K est muni d'une dérivation vérifiant une hypothèse de quasi-commutation avec \sigma. En appliquant notre critère d'indépendance algébrique à l'opérateur de Mahler, nous donnons enfin une preuve galoisienne d'un théorème d'hypertranscendance de Ke. Nishioka.

Let K be a field equipped with an endomorphism \sigma. In this thesis, we show that the Galois theory for \sigma-difference equations, well known if \sigma is an automorphism of K, can be adapted to the case when \sigma is not necessarily surjective anymore, by passing to the inversive closure of K. We then use this Galois theory to give an algebraic independence criterion for solutions of first order \sigma-equations. This result allows us to characterize the hyperalgebraic solutions of such \sigma-equations when K is endowed with a derivation which almost commutes with \sigma. Applying our algebraic independence criterion to the Mahler operator setting, we give a galoisian proof of a hypertranscendence theorem of Ke. Nishioka.