Théorie spectrale pour certaines métriques singulières et géométrie d'Arakelov

par Mounir Hajli

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Vincent Maillot.


  • Résumé

    In this thesis we are interested in the holomorphic analytictorsion and its extension (in the setting of Arakelov geometry)to integrable line bundles on a compact Riemann surface. We propose two different approaches: The first approach isan approximation process which uses Bismut, Gillet , Soulé anomaly formula. The second one introduces the notion of singular Laplacian which extend the classical one. We apply both approaches to line bundles on \mathbb{P}^1 endowedwith their canonical metric. By direct computations, we establish that both approaches define the same notion of analytic torsion in the case of canonical metrics. We propose a general spectral theory which take into account this kind of metrics and generalizes the classical theory for line bundles on compact Riemann surfaces equipped with \mathcal{C}^\infty. As a consequence, we provide a new proof or the previous results, obtained by direct computations.


  • Résumé

    Dans cette thèse on s'intéresse à l'extension de la notion de la torsion analytique holomorphe (dans le cadre de la géométrie d'Arakelov) à des fibrés en droites intégrables sur une surface de Riemann compacte. Nous proposons deux approches différentes: La première utiliseune méthode d'approximation via la formule des anomaliesde Bismut, Gillet et Soulé. La seconde nécessite l'introductionde la notion d'opérateur Laplacien singulier généralisant ainsila notion classique de Laplacien. Nous appliquons ces deux approches aux fibrés en droites \overline{\mathcal{O}(m)}_\infty sur \mathbb{P}^1 munis de leur métrique canonique et nous établissons, par descalculs directs, que ces deux approches permettent de définir la même notion de torsion analytique dans le cas des métriques canoniques. Nous proposons ensuite une théorie spectrale générale quiautorise ces métriques particulières et qui généralise ainsila théorie classique pour les fibrés en droites sur les surfaces de Riemann compactes munis de métriques \mathcal{C}^\infty. Comme application, nous donnons une nouvelle preuve pour les précédents résultats, obtenuspar des calculs directs.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (211 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. [209]-211. 35 réf. bibliogr.

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  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
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  • Cote : T Paris 6 2012 507
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