Méthodes numériques pour l'optimisation en finance : couverture optimisée pour des options et options optimisées pour la couverture

Numerical methods for optimization in finance : optimized hedges for options and optimized options for hedging

• Auteur / Autrice : Tobias Lipp
• Direction : Olivier Pironneau, Ronald H. W. Hoppe
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 6 en cotutelle avec Universität Augsburg

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques financières -- Solutions numériques

Options (finances)

Modèles mathématiques

Couverture (finances)

Finances -- Modèles mathématiques

Résumé

Cette thèse porte sur l'optimisation en finance par des méthodes numériques. La thèse se présente en deux parties. Dans la première partie, nous proposons une méthode numérique pour calculer une stratégie de trading pour la couverture d'un produit financier dérivé avec plusieurs instruments de couverture. Le cadre mathématique sous-jacent est la minimisation du risque local en temps discret. La méthode combine la simulation de Monte-Carlo et la régression des moindres carrés - analogue à la méthode de Longstaff et Schwartz. Nous l'appliquons à deux exemples particuliers. Les instruments de couverture sont l'actif sous-jacent, des options vanilles et des swaps de variance. Dans la seconde partie, nous proposons une approche par contrôle optimal pour l'optimisation des options paniers à barrière double de type européen. Le panier est constitué de deux actifs. L'objectif est de contrôler le versement à la barrière supérieure et le versement à la date d'échéance de sorte que le delta de l'option soit aussi proche que possible d'une constante prédéfinie. Cela donne lieu à un problème de contrôle optimal de type contrôle restreint pour l'équation aux dérivées partielles de Black-Scholes avec des conditions de Dirichlet au bord contrôlées et de condition terminale contrôlée. En utilisant la formulation variationnelle du problème dans un cadre d'espace de Sobolev à poids, on prouve l'existence et l'unicité de la solution. Les discrétisations par la méthode des éléments finis et par le schéma d'Euler implicite conduisent à un problème de contrôle optimal entièrement discret. Des résultats numériques sont donnés.

This dissertation contributes to optimization in finance through numerical methods. The input consists of two parts: In part 1, we propose a numerical method to compute a trading strategy for the hedging of a financial derivative with N hedging instruments. The underlying mathematical framework is local risk minimization in discrete time. The method combines Monte Carlo simulation with least squares regression in analogy to the method of Longstaff and Schwartz. We study the proposed method on two example problems. For both problems the number of hedging instruments is two. One of the hedging instruments is always the underlying asset of the hedging objective. The other hedging instrument is a vanilla put option in the first example and a variance swap in the second example. In part 2, we propose an optimal control approach for the optimization of European double barrier basket options. The basket consists of two assets. The objective is to control the payoff and the rebate at the upper barrier such that the delta of the option is as close as possible to a predefined constant. This gives rise to a control constrained optimal control problem for the (two-dimensional) Black-Scholes equation with Dirichlet boundary control and finite time control. Based on the variational formulation of the problem in an appropriate Sobolev space setting, we prove the existence of a unique solution and state the first order necessary optimality conditions. Discretization in space by P1 finite elements and discretization in time by the backward Euler scheme results in a fully discrete optimal control problem. Numerical results illustrate the benefits optimized double barrier options.