Contribution à une théorie de Morse-Novikov à paramètre

par Carlos Moraga Ferrándiz

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de François Laudenbach et de Andrei V. Pajitnov.

Soutenue en 2012

à Nantes , en partenariat avec Université de Nantes. Faculté des sciences et des techniques (autre partenaire) .


  • Résumé

    Le cadre de cette étude est une variété fermée de dimension au moins six qui est munie d'une classe de cohomologie de De Rham non-nulle. L'objectif de la thèse est de créer des outils pour répondre au problème de savoir si deux 1-formes fermées non-singulières (sans zéro) dans la classe fixée sont toujours isotopes. La réponse générale à la question est non, et une obstruction de type K-théorique est attendue. Il est toujours possible de relier deux 1-formes fermées non singulières par un chemin qui reste dans la classe de cohomologie ; l'isotopie des extrêmes du chemin équivaut à déformer le chemin par une homotopie relative en un autre constitué de 1-formes non-singulières. On introduit deux sortes de pseudo-gradients pour chaque nombre L positif : ceux avec une liaison L-élémentaire et ceux que nous appelons L-transverses. Ils forment une classe de champs de vecteurs adaptés aux 1-formes qui permettent de faire une lecture algébrique associée au chemin. Cette lecture est analogue à celle qui est faite dans la théorie de Hatcher-Wagoner qui traitait le problème d'isotopie pour les fonctions à valeurs réelles sans point critique. On réussit à trouver un nombre L assez grand pour déformer un chemin de 1-formes à deux indices critiques en un autre chemin muni d'un équipement L-transverse qui est sous forme normale. Les zéros d'un tel chemin de 1-formes qui sont nées ensemble, s'éliminent ensemble et de plus le graphique de Cerf-Novikov associé se ferme : la lecture algébrique citée appartient à un certain K2, ce qui est au point de départ de la définition d'une obstruction à l'isotopie des 1-formes fermées non-singulières.

  • Titre traduit

    Contribution to a parameter Morse-Novikov theory


  • Résumé

    The framework of this study is a closed manifold of dimension at least six that is provided with a nonzero De Rham cohomology class. The aim is to create tools to address the next problem : two closed non-singular (without zeroes) 1-forms in the fixed class are always isotopic ? The general answer to the question is no, and a K-theoretical obstruction is expected. It is always possible to connect two non-singular closed 1-forms by a path that remains in the cohomology class ; the isotopy of the two ends of the path is equivalent to find a relative homotopy of the path to another one made of non-singular 1-forms only. We introduce two kinds of pseudo-gradients for each positive number L : those with an L-elementary link and those that we call L-transverse. They form a class of vector fields adapted to the 1-forms that allows to do an algebraic reading associated with the path. This reading is similar to that made in the theory of Hatcher-Wagoner who treated the isotopy problem of real-valued functions without critical points. We manage to find L, a number large enough to deform a path of 1-forms with only two critical indices into another one with an L-transverse equipment in normal form. The zeroes of such a path that are born together, die together and moreover, the associated Cerf-Novikov graphic is closed : the cited algebraic reading belongs to some K2, which is the starting point for the definition of an obstruction for two non-singular closed 1-forms to be isotopic.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe sous forme papier

Informations

  • Détails : 1 vol. (123 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 115-117

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Nantes. Service commun de la documentation. BU Sciences.
  • Disponible pour le PEB
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.