Estimateurs d’erreur a posteriori résiduels en éléments finis pour la résolution de problèmes d’électromagnétisme en formulations potentielles

par Zuqi Tang

Thèse de doctorat en Génie électrique

Sous la direction de Francis Piriou et de Emmanuel Creusé.

Soutenue le 29-11-2012

à Lille 1 , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire d'électrotechnique et d'électronique de puissance (L2EP) (laboratoire) et de Laboratoire Paul Painlevé (laboratoire) .


  • Résumé

    Ce travail s’intéresse à la résolution numérique par éléments finis des équations de Maxwell en régime quasi-stationnaire et en formulations potentielles. L’objectif poursuivi consiste à développer des estimateurs d’erreur a posteriori résiduels, afin de contrôler l’erreur de discrétisation spatiale, dans le cadre d’applications en régime statique ou en régime dynamique harmonique.La première partie de cette thèse est composée de deux chapitres. Le premier est consacré à la modélisation des phénomènes physiques étudiés et à l’obtention des équations mathématiques en résultant. Dans le second, on présente les estimateurs a posteriori et leur intérêt dans le cadre de la mise en oeuvre de la méthode des éléments finis. On détaille notamment les notions de fiablité et d’efficacité d’un estimateur. La deuxième partie se décompose en trois chapitres. Le premier développe l’estimateur a posteriori dans le cas de la magnétostatique en formulation potentielle vecteur A. Les outils mathématiques nécessaires à l’étude sont en particulier détaillés. L’estimateur obtenu est alors validé sur quelques cas tests académiques. Le deuxième traite de l’estimateur a posteriori pour la formulation magnétodynamique en potentiel A/φ en régime harmonique. Un soin particulier est apporté pour générer une décomposition de Helmholtz ad hoc permettant d’obtenir la fiabilité de l’estimateur. Plusieurs configurations sont traitées en fonction de la position du domaine conducteur dans le domaine de calcul et des conditions aux limites associées. Un test numérique est ensuite effectué. Le troisième chapitre est consacré à l’estimateur d’erreur a posteriori pour la formulation T/Ω en régime harmonique pour le problème de la magnétodynamique, en supposant le domaine conducteur simplement connexe. Similairement à la formulation A/φ, une décomposition de Helmholtz est développée pour établir la fiabilité. Une validation numérique est proposée. Enfin, la troisième partie présente une batterie de tests numériques applicatifs et industriels permettant de tester les estimateurs développés dans des conditions réelles. Celle-ci se termine notamment par une application de EDF R&D ayant pour objet le contrôle non destructif par courant de Foucault de tubes générateurs de vapeur.

  • Titre traduit

    Residual a posteriori error estimators in finite elements for the resolution of electromagnetic problems in potential formulations


  • Résumé

    We are interested in resolving the Maxwell equations in the case of quasi-stationary and potential formulations when the finite element method is used. The aim of this work is to develop residual-based a posteriori estimators to control the spatial discretization error in magnetostatic and magnetodynamic problems. The first part is decomposed in two chapters. In the first one, the modeling of the physical phenomena involved are proposed and the mathematical equations are derived. Then, in the second one, the definition of the a posteriori estimators and their interest are presented in the context of the finite element method. The particular notions of reliability and efficiency of an estimator are presented. The second part can be decomposed into three chapters. In the first one, a residualbased a posteriori estimator for the vector potential formulation A in the case of magnetostatic problems is developed. Some necessary mathematical tools for the study are particularly detailed. The estimator is then validated by some academic tests. In the second chapter, a residual-based a posteriori estimator for the A/φ magnetodynamic harmonic formulation is developed. An ad-hoc Helmholtz decomposition is derived to obtain the reliability of the estimator. Several configurations are considered according to the position of the conductor domain in the computational domain as well as boundary conditions used. A numerical test is then performed. In the third chapter, a residual-based a posteriori estimator is derived for the T/Ω magnetodynamic harmonic formulation, when the conductor domain is simply connected. Similarly to the A/φ formulation, an ad-hoc Helmholtz decomposition is developed to establish the reliability. A numerical validation is proposed.Finally, in the third part, a set of numerical experiments and industrial applications are presented to evaluate our estimators. It ends with a particular application of EDF R&D focusing on the eddy current non-destructive evaluation of steam generator tubes.


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